Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 241 Cevapları

Karekökün içi sıfırdan küçük olamaz: x+2≥0, x-1≥0, x+4≥0.

1. Karekökün içi sıfırdan küçük olamaz.
2. f için x+2≥0 ⇒ x≥−2; tanım kümesi [−2,∞).
3. g için x−1≥0 ⇒ x≥1; tanım kümesi [1,∞).
4. h için x+4≥0 ⇒ x≥−4; tanım kümesi [−4,∞).

Kendini kontrol et: Tablonun başlığında verilen tanım kümeleriyle bulduğun aralıklar aynı mı?

Karekök en az 0 olduğundan f için 0-5, g için 3·0+2, h için -2·0+3 uç değerdir; h'de katsayı negatif olduğu için küçülür.

1. Karekök en az 0 değerini alır ve sınırsız büyüyebilir.
2. f: √(x+2)≥0 ⇒ f(x)≥0−5=−5; görüntü kümesi [−5,∞).
3. g: 3√(x−1)≥0 ⇒ g(x)≥0+2=2; görüntü kümesi [2,∞).
4. h: −2√(x+4)≤0 ⇒ h(x)≤0+3=3; katsayı negatif olduğu için yukarıdan sınırlıdır.

Kendini kontrol et: Her fonksiyonu tanım kümesinin başlangıç noktasında hesapla; −5, 2 ve 3 çıkıyor mu?

Sıfırlar f için √(x+2)=5, h için √(x+4)=3/2 denkleminden bulunur; g'nin en küçük değeri 2 olduğundan hep pozitiftir.

1. İşaret için önce sıfırları bul: f'de √(x+2)=5 ⇒ x=23; h'de √(x+4)=3/2 ⇒ x=−7/4.
2. f artan olduğundan x=23'ten önce negatif, sonra pozitiftir: [−2,23) negatif, (23,∞) pozitif.
3. g'nin en küçük değeri 2 olduğundan g her yerde pozitiftir.
4. h azalan ve h(−4)=3>0 olduğundan [−4,−7/4) pozitif, (−7/4,∞) negatiftir.

Kendini kontrol et: f(−2), f(34), h(−4), h(0) değerlerini hesapla; işaretleri bulduğun aralıklarla uyuşuyor mu?

Karekökün önündeki katsayı pozitifse fonksiyon artan, negatifse azalandır (f ve g için katsayı pozitif, h için -2).

1. Karekökün önündeki katsayıya bak: f için 1, g için 3, h için −2.
2. Katsayı pozitifse x büyüdükçe değer büyür; fonksiyon artandır.
3. Katsayı negatifse x büyüdükçe değer küçülür; fonksiyon azalandır.

Kendini kontrol et: h(−4)=3 ve h(0)=−1 değerlerini karşılaştır; x büyürken değer küçülüyor mu?

Başlangıç noktasındaki değer artan fonksiyonlarda minimum, azalan fonksiyonda maksimumdur.

1. Uç değer tanım kümesinin başlangıç noktasında, karekökün 0 olduğu yerde oluşur.
2. f artan: f(−2)=0−5=−5 minimumdur; sınırsız arttığı için maksimum yok.
3. g artan: g(1)=0+2=2 minimumdur; maksimum yok.
4. h azalan: h(−4)=0+3=3 maksimumdur; sınırsız azaldığı için minimum yok.

Kendini kontrol et: Bulduğun minimum ve maksimum değerler görüntü kümelerinin kapalı uçlarıyla aynı mı?

f: √(x+2)=5 ise x=23. g: 3√(x-1)+2=0 çözümsüz. h: √(x+4)=3/2 ise x+4=9/4, x=-7/4.

1. Sıfır için her fonksiyonu 0'a eşitle.
2. f: √(x+2)−5=0 ⇒ √(x+2)=5 ⇒ x+2=25 ⇒ x=23.
3. g: 3√(x−1)+2=0 ⇒ √(x−1)=−2/3; karekök negatif olamaz, çözüm yok.
4. h: −2√(x+4)+3=0 ⇒ √(x+4)=3/2 ⇒ x+4=9/4 ⇒ x=−7/4.

Kendini kontrol et: x=23'ü f'de, x=−7/4'ü h'de yerine koy; sonuç 0 çıkıyor mu?

Her biri tanım kümesinde kesin artan ya da kesin azalan olduğundan farklı x değerleri farklı değer alır.

1. Bire bir için farklı x değerleri farklı görüntüler vermelidir.
2. f ve g tanım kümelerinde kesin artan, h kesin azalandır.
3. Kesin artan ya da azalan bir fonksiyon aynı değeri iki kez alamaz.

Kendini kontrol et: Herhangi bir yatay doğru grafiklerden birini iki noktada kesiyor mu?

Tanım kümeleri orijine göre simetrik değildir ([-2,∞), [1,∞), [-4,∞)), bu yüzden tek ya da çift olamazlar.

1. Tek ya da çift olmak için x tanımlıyken −x de tanımlı olmalıdır.
2. Tanım kümeleri: f için [−2,∞), g için [1,∞), h için [−4,∞).
3. Örneğin f'de x=5 tanımlı ama −5 tanımlı değil; diğerlerinde de benzer durum vardır.
4. Tanım kümeleri orijine göre simetrik olmadığından sonuç: üçü de ne tek ne çifttir.

Kendini kontrol et: Her tanım kümesinde x tanımlıyken −x'in tanımsız olduğu bir örnek bulabiliyor musun?

Verilen değer kümeleri ([-5,∞), [2,∞), (-∞,3]) fonksiyonların görüntü kümelerine eşittir.

1. Örten olmak için görüntü kümesi, verilen değer kümesine eşit olmalıdır.
2. Görüntü kümeleri: f için [−5,∞), g için [2,∞), h için (−∞,3].
3. Verilen değer kümeleri de sırasıyla [−5,∞), [2,∞), (−∞,3]'tür.
4. Her biri eşit olduğundan sonuç: üç fonksiyon da örtendir.

Kendini kontrol et: Bulduğun görüntü kümeleri tablo başlığındaki değer kümeleriyle birebir aynı mı?