Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 24
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 24 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1Hipotenüsü 1 olan dik üçgende dik kenarlar ile trigonometrik oranlar ilişkisi varsayımı
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Hipotenüs 1 olduğundan karşı kenar/1 = sin x, komşu kenar/1 = cos x.
- ABC dik üçgeninde hipotenüs |BC| = 1 ve m(B) = x'tir.
- x açısının karşısındaki dik kenar AC, komşu dik kenar AB'dir.
- sin x = |AC|/1 yazılır; paydada 1 olduğundan |AC| = sin x olur.
- cos x = |AB|/1 yazılır; buradan |AB| = cos x varsayımına ulaşılır.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Dik kenarlardan biri x açısının sinüsüne, diğeri kosinüsüne eşittir. (Hangi kenarın hangisine eşit olduğu açıklanırsa geçerlidir.) · Dik kenarların kareleri toplamı 1'dir; bu yüzden sin²x + cos²x = 1 olabilir. (Kenarların sin x ve cos x olduğu varsayımıyla birlikte söylenirse geçerlidir.)
- Karşı ve komşu kenarı karıştırıp |AB| = sin x demek — AB, B açısına bitişik olduğundan komşu kenardır.
- Varsayımı hipotenüsü 1 olmayan üçgenlere genellemek — kenar oranla eşit olması yalnız hipotenüs 1 iken geçerlidir.
Kendini kontrol et: Hipotenüs 1 iken sin x = karşı kenar / 1 yazınca kenar uzunluğunun kendisini mi buluyorum?
2aDik kenar uzunluklarını x açısının oranları türünden ifade etme
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
sin x = |AC|/1 ve cos x = |AB|/1.
- ABC dik üçgeninde m(A) = 90°, hipotenüs |BC| = 1, m(B) = x.
- sin x = karşı / hipotenüs = |AC|/1, yani |AC| = sin x.
- cos x = komşu / hipotenüs = |AB|/1, yani |AB| = cos x.
- |AB| = sin x yazmak — AB, x açısına komşu kenardır; sinüs karşı kenarla ilgilidir.
- Açıyı C köşesinde sanmak — x, B köşesindeki açıdır; karşı kenar AC'dir.
Kendini kontrol et: Bulduğun kenarlar için (sin x)² + (cos x)² = 1² Pisagor bağıntısı sağlanıyor mu?
2btan x ve cot x'i sin x ve cos x türünden ifade etme
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
tan x = |AC|/|AB| ve cot x = |AB|/|AC| olup kenarlar yerine sin x ve cos x yazılır.
- x açısı için tan x = |AC|/|AB| ve cot x = |AB|/|AC|'dir.
- a şıkkından |AC| = sin x ve |AB| = cos x yazılır.
- Yerine koyunca tan x = sin x / cos x olur.
- Benzer şekilde cot x = cos x / sin x bulunur.
- tan x = cos x / sin x yazmak — tanjant karşı/komşu olduğundan payda sinüs, paydada kosinüs olmalıdır.
- cot x'i tan x'ten bağımsız sanmak — cot x = 1/tan x olduğu için oran ters çevrilir.
Kendini kontrol et: tan x · cot x = (sin x/cos x) · (cos x/sin x) = 1 çıkıyor mu?
2cHipotenüsü 1 olan dik üçgende dik kenar ve oran ilişkisi genellemesi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Pisagor bağıntısı da dik kenarların karelerinin toplamının 1 olmasından gelir.
- Hipotenüs 1 iken sin x ve cos x oranlarının paydası 1 olur.
- Bu yüzden x açısının karşı dik kenarı sin x, komşu dik kenarı cos x'tir.
- Pisagor'dan dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir: sin²x + cos²x = 1.
- Dik kenarların oranı tan x = sin x / cos x ve cot x = cos x / sin x verir.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Hipotenüsü 1 olan dik üçgende bir açının sinüsü karşı kenara, kosinüsü komşu kenara eşittir. (Yalnız kenar–oran eşitliği istenirse yeterlidir.) · Hipotenüs 1 iken dik kenarlar sin x ve cos x olduğundan sin²x + cos²x = 1'dir. (Genellemede Pisagor bağıntısı vurgulanırsa geçerlidir.)
- sin²x + cos²x = 1 bağıntısını yalnız hipotenüsü 1 olan üçgene özgü sanmak — oranlar benzer üçgenlerde aynı kaldığından her dar açı için geçerlidir.
- sin²x'i sin(x²) gibi okumak — sin²x, sin x değerinin karesidir.
Kendini kontrol et: 30° için (1/2)² + (√3/2)² = 1 sağlanıyor mu?
3 β tanjantsin β = 4/5, cos β = 3/5 için tanjant
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
tan = sin/cos = (4/5)/(3/5).
- sin β = 4/5 ve cos β = 3/5 verilmiş.
- tan β = sin β / cos β bağıntısı kullanılır.
- tan β = (4/5)/(3/5) = 4/3 bulunur.
- Oranı ters kurup 3/4 yazmak — tanjant sinüsün kosinüse bölümüdür: (4/5)/(3/5).
- Kesirleri bölerken paydaları da bölmek — eşit paydalar sadeleşir, sonuç 4/3 olur.
Kendini kontrol et: tan β · cot β = 1 olmalı; bulduğun 4/3 ile kotanjant çarpımı 1 mi?
3 β kotanjantsin β = 4/5, cos β = 3/5 için kotanjant
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
cot = cos/sin = (3/5)/(4/5).
- sin β = 4/5 ve cos β = 3/5 verilmiş.
- cot β = cos β / sin β bağıntısı kullanılır.
- cot β = (3/5)/(4/5) = 3/4 bulunur.
- cot β = sin β / cos β yazmak — bu tanjanttır; kotanjantta kosinüs paydadadır.
Kendini kontrol et: cot β, tan β = 4/3 değerinin tersi olan 3/4'e eşit mi?
3 θ tanjantsin θ = b/a, cos θ = c/a için tanjant
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
tan = sin/cos = (b/a)/(c/a).
- sin θ = b/a ve cos θ = c/a verilmiş.
- tan θ = sin θ / cos θ bağıntısı kullanılır.
- tan θ = (b/a)/(c/a) = b/c bulunur.
- Sonucu b/a veya c/b yazmak — tanjant sinüsün kosinüse bölümüdür; ortak payda a sadeleşir ve b/c kalır.
Kendini kontrol et: Karşı kenar b, komşu kenar c, hipotenüs a olan üçgende tan θ = b/c mi?
3 θ kotanjantsin θ = b/a, cos θ = c/a için kotanjant
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
cot = cos/sin = (c/a)/(b/a).
- sin θ = b/a ve cos θ = c/a verilmiş.
- cot θ = cos θ / sin θ bağıntısı kullanılır.
- cot θ = (c/a)/(b/a) = c/b bulunur.
- cot θ'yı b/c yazmak — bu tanjanttır; kotanjant komşu kenarın karşı kenara oranıdır.
Kendini kontrol et: (b/c) · (c/b) = 1 olduğundan tan θ · cot θ = 1 sağlanıyor mu?
4Hipotenüsü 1 olan dik üçgende dik kenar ve oran ilişkisine dair önerme oluşturma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Hipotenüs 1 iken oranlar doğrudan kenar uzunluğuna eşit olur.
- 2. sorudaki sonuçları hatırla: |AC| = sin x ve |AB| = cos x.
- Pisagor bağıntısını hipotenüs 1 için yaz: |AC|² + |AB|² = 1.
- Kenarlar yerine oranları koy: sin²x + cos²x = 1 önermesini elde et.
- Dik kenarların oranından tan x = sin x / cos x önermesini ekle.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Hipotenüsü 1 birim olan dik üçgende x açısının karşısındaki kenar sin x, komşu kenar cos x'tir. (Kenar–oran eşitliğini tek önerme olarak vermek istenirse geçerlidir.) · Her dar açı x için sin²x + cos²x = 1 ve cot x = cos x / sin x'tir. (Önerme bağıntılar üzerinden kurulursa geçerlidir.)
- Önermeyi yalnız sayısal örnekle bırakmak — önerme her dar açı x için geçerli genel bir ifade olmalıdır.
- sin x + cos x = 1 yazmak — eşitlik kenarların kareleri toplamı için geçerlidir, kenarların toplamı için değil.
Kendini kontrol et: 45° için (√2/2)² + (√2/2)² = 1 ve tan 45° = 1 sağlanıyor mu?