Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 246
Matematik 10. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 246 Cevapları
Yapay zekâ ile hazırlandı ve kontrol edildi
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
4e-2Tablo: tanım aralığı (-5,-1] için işlem ve görüntü aralığı
Çözüm Yolu
x negatif aralıkta olduğundan eşitsizlikte uçların tersleri alınırken sıra değişir.
- Verilen tanım aralığı (-5,-1], yani -5<x≤-1; 1/x için görüntü aralığı istenen.
- Uçların tersleri: 1/(-5)=-1/5 ve 1/(-1)=-1.
- Aynı işaretli sayılarda ters alınca eşitsizlik yön değiştirir: -1≤1/x<-1/5.
- -1 dahil, -1/5 dahil değildir; görüntü aralığı [-1, -1/5) olarak yazılır.
- Eşitsizliğin yönünü çevirmeden -1/5<1/x≤-1 yazmak — negatif sayılarda ters alınca sıra değişir.
- Uçların dahil olma durumunu karıştırmak — x=-1 dahil olduğu için -1 dahil, x=-5 dahil olmadığı için -1/5 dahil değildir.
Kendini kontrol et: Aralıktan x=-2 seç: 1/x=-1/2 bulduğun [-1, -1/5) aralığında mı?
4e-3Tablo: tanım aralığı -3≤x<0 için işlem ve görüntü aralığı
Çözüm Yolu
x sıfıra soldan yaklaştıkça 1/x sınırsız küçülür, x=-3 için değer -1/3'tür.
- Verilen tanım aralığı -3≤x<0; 1/x için görüntü aralığı istenen.
- x=-3 için 1/x=-1/3 olur; negatif aralıkta ters alınca eşitsizlik yön değiştirir: 1/x≤-1/3.
- x soldan 0'a yaklaştıkça 1/x sınırsız küçülür, alt sınır yoktur.
- Görüntü aralığı (-∞, -1/3] olarak yazılır.
- 0'ın tersini almaya çalışıp alt sınırı bir sayı sanmak — 1/0 tanımsızdır, x sıfıra yaklaştıkça 1/x sınırsız küçülür.
- Sonucu -1/3≤1/x yazmak — negatif sayılarda ters alınca eşitsizlik yön değiştirir.
Kendini kontrol et: x=-0,1 için 1/x=-10 olur; bu değer (-∞, -1/3] aralığında mı?
4e-4Tablo: tanım aralığı x>4 için işlem ve görüntü aralığı
Çözüm Yolu
x büyüdükçe 1/x sıfıra yaklaşır ama sıfır olmaz; x=4'te 1/4'tür ve dahil değildir.
- Verilen tanım aralığı x>4; 1/x için görüntü aralığı istenen.
- Her iki taraf pozitif olduğundan terslerini alırken eşitsizlik yön değiştirir: 1/x<1/4.
- x büyüdükçe 1/x sıfıra yaklaşır ama hep pozitif kalır: 0<1/x.
- İki sonuç birleştirilir: 0<1/x<1/4, görüntü aralığı (0, 1/4).
- Yalnız 1/x<1/4 yazıp alt sınırı unutmak — x pozitif olduğundan 1/x de pozitiftir, 0 alt sınırdır.
- 0'ı aralığa dahil etmek — 1/x hiçbir x için sıfır olmaz.
Kendini kontrol et: x=10 için 1/x=0,1 bulunur; bu değer 0 ile 0,25 arasında mı?
4e-5Tablo: tanım aralığı x<-2 için işlem ve görüntü aralığı
Çözüm Yolu
x negatif ve -2'den küçükken 1/x, -1/2 ile 0 arasında kalır.
- Verilen tanım aralığı x<-2; 1/x için görüntü aralığı istenen.
- Negatif sayılarda ters alınca eşitsizlik yön değiştirir: 1/x>-1/2.
- x eksi sonsuza gittikçe 1/x sıfıra yaklaşır ama negatif kalır: 1/x<0.
- İki sonuç birleştirilir: -1/2<1/x<0, görüntü aralığı (-1/2, 0).
- Sonucu 1/x<-1/2 yazmak — negatif sayılarda ters alınca eşitsizliğin yönü değişir.
- Üst sınırı yazmayı unutmak — x negatif olduğundan 1/x de negatiftir, yani 1/x<0.
Kendini kontrol et: x=-4 için 1/x=-1/4 olur; bu değer -1/2 ile 0 arasında mı?
4fTanım aralığı ile görüntü aralığı arasındaki ilişkiyi tablodan yazma
Çözüm Yolu
Fonksiyon her iki aralıkta azalan olduğundan tanım aralığının uçlarının terslerinin sıralaması değişir; küçük x büyük görüntü verir.
- Tablodaki satırlarda tanım aralığının uçlarını ve görüntü aralığının uçlarını karşılaştır.
- Örneğin 2<x<5 için görüntü 1/5<y<1/2: küçük uç 2, büyük görüntü 1/2'yi veriyor.
- Fonksiyon (-∞,0) ve (0,+∞) aralıklarında azalan olduğundan uçların tersleri alınınca sıra ters döner.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Tanım aralığında x arttıkça 1/x azalır; bu yüzden eşitsizliğin yönü değişir. (Azalanlık ile eşitsizlik yönünün değişmesi ilişkilendirildiğinde geçerlidir.)
- Uçların terslerini aynı sırayla yazmak — fonksiyon azalan olduğundan sıralama değişir.
- Pozitif ve negatif sayıları içeren aralıkta da aynı kuralı uygulamak — kural yalnız aynı işaretli aralıklarda geçerlidir.
Kendini kontrol et: Tablodaki her satırda tanım aralığının büyük ucunun tersi görüntü aralığının küçük ucu mu?
4gRasyonel fonksiyonda nicelikler arasındaki ilişkinin doğru mu ters orantılı mı olduğu
Çözüm Yolu
f(x)=1/x için x·f(x)=1 sabittir; biri artarken diğeri azalır, bu da ters orantıdır.
- f(x)=1/x için x ile f(x)'in çarpımını hesapla: x·(1/x)=1.
- Çarpımın sabit olduğunu fark et; biri artarken diğeri azalıyor.
- Çarpımı sabit olan çokluklar ters orantılıdır.
- Oranın sabit olduğunu düşünüp doğru orantı demek — doğru orantıda bölüm, ters orantıda çarpım sabittir.
Kendini kontrol et: x=2 ve x=4 için x·f(x) çarpımı aynı mı çıkıyor?
4ğRasyonel fonksiyonların gerçek yaşamda hangi nicelikleri modelleyebileceğini tartışma
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar
Çarpımı sabit olan, biri artarken diğeri azalan nicelikler rasyonel fonksiyonla modellenir.
- Biri artarken diğeri azalan ve çarpımı sabit kalan iki nicelik düşün.
- Sabit yolu alan bir araçta hız arttıkça süre azalır: süre = yol/hız.
- Aynı işi yapan işçi sayısı arttıkça işin bitme süresi azalır.
- Bu ilişkiler y=k/x biçiminde rasyonel fonksiyonla modellenir.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Sabit sıcaklıkta gazın basıncı ile hacmi (Sıcaklık ve gaz miktarı sabit tutulduğunda geçerlidir.) · Sabit bir tutarın paylaşıldığı kişi sayısı ile kişi başına düşen pay (Paylaştırılan toplam miktar değişmediğinde geçerlidir.)
- Biri artarken diğeri de artan nicelikleri örnek vermek — bunlar doğru orantılıdır, 1/x tipi modellemeye uymaz.
Kendini kontrol et: Verdiğin örnekte iki niceliğin çarpımı sabit kalıyor mu?