Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 251
Matematik 10. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 251 Cevapları
Yapay zekâ ile hazırlandı ve kontrol edildi
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
2-satır3x eksenine göre simetri ve y ekseni boyunca pozitif 3 birim öteleme için cebirsel ve grafik temsil
Çözüm Yolu
Simetri için fonksiyon -1 ile çarpılır, yukarı 3 birim için +3 eklenir. Grafik: asimptotlar x=0 ve y=3; eğri sol üst ve sağ alt bölgelerde.
- İstenen: 1/x grafiğine x eksenine göre simetri ve yukarı 3 birim öteleme uygulamak.
- x eksenine göre simetri için fonksiyon -1 ile çarpılır: -1/x.
- y ekseni boyunca pozitif yönde 3 birim için 3 eklenir: g(x)=-1/x+3.
- Grafikte asimptotlar x=0 ve y=3; kollar bu asimptotlara göre sol üst ve sağ alt bölgelerde çizilir.
- x eksenine göre simetri için x yerine -x yazmak — bu y eksenine göre simetridir; burada sonuç -1 ile çarpılır.
- g(x)=-(1/x+3) yazmak — simetri önce uygulanır, 3 sonra eklenir; aksi hâlde aşağı kayar.
Kendini kontrol et: g(1)=2 mi? (1,1) noktası (1,-1)'e yansıyıp (1,2)'ye çıkmalı.
3-Artanlık-a<0a<0 için artanlık-azalanlık varsayımı
Çözüm Yolu
a<0 iken eğri x eksenine göre simetrik olduğundan her kolda artar.
- 1/x her iki aralıkta azalandır.
- a<0 ile çarpmak grafiği x eksenine göre yansıtır ve azalanı artana çevirir.
- k eklemek ve ötelemek artanlığı değiştirmez; kırılma noktası x=-r olur.
- k veya r'nin işaretinin artanlığı değiştirdiğini sanmak — ötelemeler yalnız grafiği kaydırır, eğimi değiştirmez.
- Tüm tanım kümesinde artan demek — artanlık (-∞,-r) ve (-r,∞) için ayrı ayrı geçerlidir.
Kendini kontrol et: Aynı kolda iki x seç (ör. -r+1 ve -r+2): büyük x'te değer büyük mü?
2-satır42 kat dikey germe, x eksenine göre simetri, x'te pozitif 2, y'de pozitif 1 öteleme için cebirsel ve grafik temsil
Çözüm Yolu
2 kat germe ve simetri ile -2·f(x); sağa 2 birim için x-2; yukarı 1 birim için +1. Grafik: asimptotlar x=2 ve y=1; eğri sol üst ve sağ alt bölgelerde.
- 2 kat dikey germe ve x eksenine göre simetri birlikte fonksiyonu -2 ile çarpar: -2/x.
- x ekseni boyunca pozitif yönde 2 birim için x yerine x-2 yazılır: -2/(x-2).
- y ekseni boyunca pozitif yönde 1 birim için 1 eklenir: g(x)=-2/(x-2)+1.
- Grafikte asimptotlar x=2 ve y=1; kollar bu asimptotlara göre sol üst ve sağ alt bölgelerde çizilir.
- Pozitif yönde öteleme için x+2 yazmak — sağa öteleme x yerine x-2 yazılarak yapılır.
- Çarpanı 1/2 almak — 2 kat germe değerleri 2 ile çarpar, 1/2 daraltma olur.
Kendini kontrol et: g(3)=-1 mi? Asimptotlar x=2 ve y=1 mi?
3-Tanım-a>0a>0 için g fonksiyonunun tanım kümesi varsayımı
Çözüm Yolu
Payda x+r sıfır olamaz; x=-r tanımsızdır.
- g(x)=a/(x+r)+k ifadesinde payda x+r sıfırdan farklı olmalıdır.
- x+r=0 çözülürse x=-r bulunur.
- Bu nedenle a>0 için tanım kümesi ℝ-{-r} olur.
- Tanım kümesini ℝ-{r} yazmak — x+r=0 denkleminin çözümü x=-r'dir.
- Tanım kümesinden k'yi de çıkarmak — k görüntü kümesini etkiler, tanım kümesini değil.
Kendini kontrol et: x=-r yazınca payda 0 oluyor mu? Başka hiçbir x paydayı sıfırlamıyor mu?
3-Tanım-a<0a<0 için g fonksiyonunun tanım kümesi varsayımı
Çözüm Yolu
a işareti tanım kümesini değiştirmez; x=-r hariç tutulur.
- g(x)=a/(x+r)+k ifadesinde payda x+r sıfır olamaz.
- x+r=0 ise x=-r bulunur; bu değer tanımsızdır.
- a'nın işareti paydayı etkilemez, bu yüzden a<0 iken de tanım kümesi ℝ-{-r} olur.
- a<0 iken tanım kümesinin değiştiğini düşünmek — a yalnız payda bulunur, tanımsızlığı payda belirler.
Kendini kontrol et: a'nın işaretini değiştirince paydayı sıfır yapan değer değişiyor mu?
3-Görüntü-a>0a>0 için görüntü kümesi varsayımı
Çözüm Yolu
a/(x+r) hiçbir zaman 0 olmaz; g(x) hiçbir zaman k değerini almaz (yatay asimptot y=k).
- a≠0 olduğundan a/(x+r) kesri hiçbir x için 0 olamaz.
- Bu yüzden g(x)=a/(x+r)+k hiçbir zaman k değerini almaz; y=k yatay asimptottur.
- k dışındaki her değer alınabildiğinden görüntü kümesi ℝ-{k} olur.
- Görüntü kümesini ℝ-{-r} yazmak — -r tanım kümesinden çıkan x değeridir; görüntüden çıkan y=k'dir.
- k>0 diye görüntüyü yalnız pozitif sayılar sanmak — g her iki yönde sonsuza gider.
Kendini kontrol et: g(x)=k denklemini çöz: a/(x+r)=0 sağlanabiliyor mu?
3-Görüntü-a<0a<0 için görüntü kümesi varsayımı
Çözüm Yolu
a negatif olsa da a/(x+r) sıfır olamaz; y=k değeri alınmaz.
- a<0 olsa da a≠0 olduğundan a/(x+r) hiçbir zaman 0 olmaz.
- Bu nedenle g(x) hiçbir x için k değerini almaz; y=k yatay asimptottur.
- Görüntü kümesi ℝ-{k} olur.
- a<0 iken görüntü kümesinin -k etrafında olduğunu sanmak — simetri asimptotu değiştirmez, öteleme k kadardır.
Kendini kontrol et: g(x)=k olması için a/(x+r)=0 gerekir; a≠0 iken bu mümkün mü?
3-İşareti-a>0a>0 için fonksiyonun işareti varsayımı
Çözüm Yolu
g(x)=0 için x=-r-a/k bulunur. x>-r iken g>k>0; x<-r tarafında kökün solunda pozitif, kök ile asimptot arasında negatiftir.
- g(x)=0 denklemi: a/(x+r)=-k, buradan x=-r-a/k bulunur; a>0, k>0 için bu kök -r'nin solundadır.
- x>-r iken a/(x+r)>0, dolayısıyla g(x)>k>0, yani pozitif.
- x<-r iken kesir negatiftir; kökün solunda g pozitif, kök ile -r arasında negatiftir.
- x<-r için g'nin her yerde negatif olduğunu sanmak — x→-∞ iken g→k>0 olur, kökün solunda pozitiftir.
- Kökü x=-r+a/k bulmak — x+r=-a/k olduğundan x=-r-a/k çıkar.
Kendini kontrol et: x=-r-a/k değerini yerine koy: a/(-a/k)+k=-k+k=0 oluyor mu?
3-İşareti-a<0a<0 için fonksiyonun işareti varsayımı
Çözüm Yolu
g(x)=0 için x=-r-a/k=-r+|a|/k. x<-r iken a/(x+r)>0 olduğundan g pozitif; kök ile asimptot arasında negatiftir.
- g(x)=0 için x=-r-a/k bulunur; a<0 olduğundan bu kök -r+|a|/k olup -r'nin sağındadır.
- x<-r iken x+r<0 ve a<0, kesir pozitif; g(x)>k>0, yani pozitif.
- x>-r iken kesir negatiftir; -r ile kök arasında g negatif, kökün sağında pozitiftir.
- a>0 durumundaki aralıkları aynen yazmak — a<0 iken kök asimptotun sağına geçer.
- x<-r iken kesrin işaretini yanlış bulmak — negatif bölü negatif pozitiftir.
Kendini kontrol et: Örnek a=-1, r=1, k=1 al: kök x=0 mı ve g(-2)>0, g(-0,5)<0 mı?
3-Artanlık-a>0a>0 için artanlık-azalanlık varsayımı
Çözüm Yolu
a>0 iken 1/x biçimli eğri her kolda azalır.
- Referans fonksiyon 1/x, (-∞,0) ve (0,∞) aralıklarının her birinde azalandır.
- a>0 ile çarpma azalanlığı korur; k eklemek ve r kadar ötelemek de korur.
- Sadece kırılma noktası x=-r'ye kayar.
- Fonksiyonun tüm tanım kümesinde azalan olduğunu söylemek — -r'nin iki yanı ayrı aralıklardır; birleşimde azalanlık bozulur.
- Aralık sınırını x=r yazmak — kesinti noktası x+r=0, yani x=-r'dir.
Kendini kontrol et: Aynı kolda iki x seç (ör. -r+1 ve -r+2): büyük x'te değer küçük mü?