Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 254
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 254 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
4.b n grafik-işaretin(x)=3/(x-2)+1 grafiğinden işaret
Çözüm Yolu
Grafik x=2 ve y=1 asimptotlu hiperboldür; x ekseni x=-1'de kesilir.
- n(x)=3/(x-2)+1 tek kesir yazılır: n(x)=(x+1)/(x-2).
- Payın kökü x=-1, paydayı sıfır yapan x=2 (tanımsız) bulunur.
- İşaret tablosu: x<-1 için (-)/(-)=+, -1<x<2 için (+)/(-)=-, x>2 için (+)/(+)=+.
- Grafiğin x eksenini kestiği x=-1 noktasını gözden kaçırmak — +1 ötelemesiyle sol kolun bir kısmı x ekseninin üstüne çıkar.
- İşareti yalnız x=2'ye göre ayırmak — n, x=-1'de de işaret değiştirir.
Kendini kontrol et: n(-2)=1/4, n(0)=-1/2, n(3)=4 değerlerinin işaretleri aralıklarla uyuşuyor mu?
5.a r grafik-max/minr grafiğinde maksimum-minimum
Çözüm Yolu
Dallar sınırsız uzanır, uç değer yoktur.
- r(x)=-3/(x-2) grafiğinin dikey asimptotu x=2, yatay asimptotu y=0'dır.
- x, 2'ye soldan yaklaşınca r(x) sınırsız büyür, sağdan yaklaşınca sınırsız küçülür.
- Ulaşılan en büyük ya da en küçük değer olmadığından uç nokta yoktur.
- Yatay asimptot y=0'ı uç değer sanmak — r(x) 0'a yaklaşır ama 0 değerini almaz.
- Çizilen pencerenin kenarındaki noktaları maksimum-minimum almak — dallar sınırsız devam eder.
Kendini kontrol et: r(1,9)=30 ve r(1,99)=300 bulunuyor mu; daha büyük değer hep bulunabiliyor mu?
5.a r cebirsel-artan/azalanr için artan-azalan aralıkları cebirsel gösterme
Çözüm Yolu
Aynı tarafta x1<x2 için 1/(x1-2)>1/(x2-2); -3 ile çarpınca r(x1)<r(x2) olur.
- r(x)=-3/(x-2) için x=2 hariç, aynı aralıkta x1<x2 alalım.
- x1-2 ve x2-2 aynı işaretli olduğundan 1/(x1-2)>1/(x2-2) olur.
- Negatif -3 ile çarpınca eşitsizlik yön değiştirir: r(x1)<r(x2).
- -3 ile çarparken yönü değiştirmemek — negatif sayıyla çarpım eşitsizliği ters çevirir.
- Ters alırken sırayı korumak — aynı işaretli sayılarda ters alma sırayı değiştirir.
Kendini kontrol et: x1=0, x2=1 için r(x1)=1,5 < r(x2)=3 eşitsizliği sağlanıyor mu?
5.a r cebirsel-max/minr için maksimum-minimum varlığı
Çözüm Yolu
Her aralıkta kesin artan olduğundan ve sınırsız uzandığından uç değer bulunmaz.
- r(x)=-3/(x-2) fonksiyonunun tanım kümesi R-{2}; uç değer olup olmadığı soruluyor.
- (-∞,2) ve (2,∞) aralıklarının her birinde r kesin artandır.
- x→2⁻ iken r(x)→+∞, x→2⁺ iken r(x)→-∞ olur; değerler sınırsız büyür ve küçülür.
- x→±∞ iken r(x) 0'a yaklaşır ama 0 olmaz; bu yüzden ulaşılan en büyük veya en küçük değer yoktur.
- Minimum ya da maksimum değeri 0 yazmak — -3/(x-2)=0 denkleminin çözümü yoktur.
- Artan fonksiyonun x=2'de maksimum aldığını sanmak — r, x=2'de tanımsızdır.
Kendini kontrol et: Herhangi bir negatif M için r(x)<M yapan, 2'den biraz büyük bir x bulabiliyor musun?
4.b n grafik-artan/azalann grafiğinden artan-azalan aralıklar
Çözüm Yolu
Her iki dal soldan sağa alçalır.
- n(x)=3/(x-2)+1 grafiği, 3/x'in 2 birim sağa ve 1 birim yukarı ötelenmişidir; x=2 tanımsızdır.
- Pay 3>0 olduğundan her dal, 3/x'te olduğu gibi soldan sağa alçalır.
- Kontrol: n(3)=4, n(5)=2 ve n(0)=-0,5, n(1)=-2; x artınca değerler azalıyor.
- Yukarı ötelemenin artan-azalan durumunu değiştirdiğini sanmak — dikey öteleme yalnız grafiği kaydırır, eğimi değiştirmez.
- Azalan aralığı (-∞,∞) yazmak — n, x=2'de tanımsızdır; aralıklar ayrı verilmelidir.
Kendini kontrol et: Sol koldan iki nokta seç (ör. x=0 ve x=1); büyük x'te değer küçük mü?
4.b n cebirsel-işaretin fonksiyonunun işaretini cebirsel inceleme
Çözüm Yolu
n(x)=3/(x-2)+1=(x+1)/(x-2) biçimine getirilir. Pay x=-1'de, payda x=2'de sıfır olur; işaret tablosu kurulur.
- n(x)=3/(x-2)+1 ifadesini paydaları eşitleyerek (x+1)/(x-2) biçiminde yazarız.
- Pay x=-1'de sıfır, payda x=2'de sıfırdır; x=2 tanımsız yapan değerdir.
- x<-1 için pay ve payda negatif, bölüm pozitiftir.
- -1<x<2 için pay pozitif, payda negatif, bölüm negatiftir.
- x>2 için ikisi de pozitif, bölüm pozitiftir.
- Paydaları eşitlerken payı 3+x-2 yerine 3+x olarak yazmak — 1, (x-2)/(x-2) biçiminde eklenmelidir.
- x=2'yi işaret tablosunda sıfır göstermek — payda sıfır olduğundan değer tanımsızdır, çift çizgiyle gösterilir.
Kendini kontrol et: (x+1)/(x-2) ifadesinde x=0 koyunca -1/2 bulup n(0)=3/(-2)+1=-1/2 ile aynı mı?
4.b n cebirsel-artan/azalann için artan-azalan aralıkları cebirsel gösterme
Çözüm Yolu
Aynı tarafta x1<x2 için x1-2<x2-2 ve 1/(x1-2)>1/(x2-2) olur. 3 ile çarpıp 1 eklemek sırayı korur: n(x1)>n(x2).
- n(x)=3/(x-2)+1 için x=2 hariç, aynı aralıkta x1<x2 alalım.
- x1-2<x2-2 olur ve iki sayı aynı işaretlidir.
- Aynı işaretli sayılarda ters alınca sıra değişir: 1/(x1-2)>1/(x2-2).
- Pozitif 3 ile çarpıp 1 eklemek sırayı korur: n(x1)>n(x2).
- 1 eklemenin eşitsizliğin yönünü değiştirdiğini sanmak — her iki tarafa aynı sayı eklemek sırayı korur.
- x1 ve x2'yi 2'nin farklı taraflarından seçmek — bu durumda terslerin sırası değişmez, sonuç yanlış olur.
Kendini kontrol et: x1=3, x2=5 için n(x1)=4 > n(x2)=2 eşitsizliği sağlanıyor mu?
5.a k grafik-artan/azalank(x)=2/x grafiğinde artan-azalan aralıklar
Çözüm Yolu
Grafik, 1. ve 3. bölgede iki daldan oluşan hiperboldür; her dal soldan sağa alçalır.
- k(x)=2/x, f(x)=1/x fonksiyonunun 2 katıdır; x=0 tanımsızdır, grafik 1. ve 3. bölgede iki daldır.
- x>0 dalında x büyüdükçe 2/x küçülür; örneğin k(1)=2, k(2)=1.
- x<0 dalında da x büyüdükçe değer küçülür; örneğin k(-2)=-1, k(-1)=-2.
- Negatif dalı artan sanmak — x=-2'den x=-1'e geçerken değer -1'den -2'ye iner, yani azalır.
- k'nin ℝ-{0} üzerinde tek parça azalan olduğunu yazmak — k(-1)=-2 < k(1)=2 olduğundan aralıklar ayrı söylenmeli.
Kendini kontrol et: k(-4)=-0,5 ile k(-1)=-2'yi karşılaştır; x büyürken değer küçülüyor mu?
5.a k grafik-max/mink grafiğinde maksimum-minimum noktaları ve değerleri
Çözüm Yolu
Dallar sınırsız uzandığı için en büyük veya en küçük değer bulunmaz.
- k(x)=2/x grafiğinin dallarına bakılır.
- x sıfıra sağdan yaklaşınca k(x) sınırsız büyür, soldan yaklaşınca sınırsız küçülür.
- Bu yüzden ulaşılan en büyük veya en küçük bir değer yoktur.
- Yatay asimptot y=0'ı minimum ya da maksimum değer sanmak — k(x) 0'a yaklaşır ama 0 değerini hiç almaz.
- Grafiğin çizildiği pencerenin kenarındaki değeri maksimum almak — dallar pencerenin dışında da sürer.
Kendini kontrol et: k(0,01)=200 ve k(0,001)=2000 bulunuyor mu; daha büyük değer hep bulunabiliyor mu?
5.a k cebirsel-artan/azalank için artan-azalan aralıkları cebirsel gösterme
Çözüm Yolu
Aynı tarafta x1<x2 için 1/x1>1/x2 olur, 2 ile çarpınca k(x1)>k(x2).
- k(x)=2/x için x=0 hariç, aynı aralıkta x1<x2 alalım.
- x1 ve x2 aynı işaretli olduğundan ters alınca sıra değişir: 1/x1>1/x2.
- Pozitif 2 ile çarpmak sırayı korur: 2/x1>2/x2, yani k(x1)>k(x2).
- Ters alırken sırayı korumak — aynı işaretli sayılarda ters alma eşitsizliğin yönünü değiştirir.
- x1<0<x2 seçerek sonuç çıkarmak — bu durumda 1/x1<1/x2 olur, işlem aynı aralıkta yapılmalı.
Kendini kontrol et: x1=1, x2=4 için k(x1)=2 > k(x2)=0,5 eşitsizliği sağlanıyor mu?
5.a k cebirsel-max/mink için maksimum-minimum varlığını cebirsel yorumlama
Çözüm Yolu
Her bölgede fonksiyon kesin azalandır ve uç değere ulaşmaz; x→0 veya x→±∞ giderken değerler sınırsızdır.
- k(x)=2/x fonksiyonu her iki aralıkta da kesin azalandır.
- x→0⁺ iken k(x)→+∞, x→0⁻ iken k(x)→-∞ olur.
- x→±∞ iken k(x) 0'a yaklaşır ama hiç 0 olmaz.
- En büyük ya da en küçük değere ulaşılmadığından maksimum ve minimum yoktur.
- Kesin azalan fonksiyonun aralık ucunda uç değer aldığını sanmak — aralıklar açık olduğu için uç noktalar dahil değildir.
- Minimum değeri 0 yazmak — 2/x=0 denkleminin çözümü yoktur.
Kendini kontrol et: Herhangi bir M sayısı için k(x)>M yapan bir x (ör. x=1/M) bulabiliyor musun?
5.a r grafik-artan/azalanr(x)=-3/(x-2) grafiğinde artan-azalan aralıklar
Çözüm Yolu
Asimptotları x=2 ve y=0 olan hiperbolün her dalı soldan sağa yükselir.
- r(x)=-3/(x-2), 3/(x-2)'nin x eksenine göre simetriğidir; x=2 tanımsızdır.
- 3/(x-2) her dalda azalan olduğundan, -1 ile çarpınca artan olur.
- Kontrol: r(3)=-3, r(5)=-1 ve r(0)=1,5, r(1)=3; x artınca değer artıyor.
- Pozitif paylı 3/(x-2) gibi azalan sanmak — negatif pay grafiği yansıtır ve artanlığa çevirir.
- Aralıkları x=0'dan ayırmak — r'nin tanımsız olduğu nokta x=2'dir.
Kendini kontrol et: r(3)=-3 ile r(5)=-1'i karşılaştır; x büyürken değer artıyor mu?