Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 255
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 255 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
5.a n grafik-artan/azalan5a tablosunda n grafiğinde artan-azalan aralıklar
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
x=2 ve y=1 asimptotlu hiperbolün dalları soldan sağa alçalır.
- n(x)=3/(x-2)+1; dikey asimptot x=2, yatay asimptot y=1'dir.
- Pay 3>0 olduğundan grafik 3/x gibi iki dalda soldan sağa alçalır.
- Kontrol: x1<x2 aynı dalda ise 3/(x1-2)>3/(x2-2) olur.
- Fonksiyonu tüm R-{2} kümesinde azalan saymak — x=2'de kopukluk var, azalanlık yalnız her aralıkta ayrı ayrı geçerlidir.
- Sağ dalın yukarıda olduğunu görüp artan demek — soldan sağa giderken y değerinin düştüğüne bakılmalıdır.
Kendini kontrol et: n(3)=4 ve n(5)=2 değerlerini hesapla; x büyürken değer küçülüyor mu?
5.b r grafik-görüntür grafiğinden görüntü kümesi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Yatay asimptot y=0'dır.
- r(x)=-3/(x-2) için y=-3/(x-2) yazılır.
- Pay -3 sıfır olmadığından kesir hiçbir zaman 0 olamaz; y=0 yatay asimptottur.
- y≠0 her değer için x=2-3/y bulunur, yani bu değerler alınır.
- Görüntü kümesini R-{2} yazmak — 2 dikey asimptottur ve tanım kümesiyle ilgilidir, görüntü kümesiyle değil.
- Payın negatif olması nedeniyle yalnız negatif değerler alındığını sanmak — x<2 için r(x) pozitiftir.
Kendini kontrol et: r(1) ve r(3) değerlerini hesapla; biri pozitif, biri negatif çıkıyor mu?
5.b r cebirsel-tanımr için tanım kümesini cebirsel bulma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
x-2=0 olamaz.
- r(x)=-3/(x-2) ifadesinde payda sıfır olamaz.
- x-2=0 ise x=2 bulunur; bu değer çıkarılır.
- Pay -3'ü sıfıra eşitlemeye çalışmak — tanımsızlık yalnız paydanın sıfır olmasından doğar.
Kendini kontrol et: Bulduğun değeri paydaya yazınca 0 elde ediyor musun?
5.b r cebirsel-görüntür için görüntü kümesini cebirsel bulma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
y=-3/(x-2) için x=2-3/y; y=0 olamaz, diğer y değerleri alınır.
- y=-3/(x-2) yazıp x'i çözeriz: x-2=-3/y.
- Buradan x=2-3/y bulunur; y=0 için tanımsızdır.
- y≠0 iken -3/y sıfır olmadığından x≠2 olur, yani x tanım kümesindedir.
- x'i yalnız bırakırken işaret hatası yapıp x=2+3/y yazmak — eksi işareti korunmalıdır.
Kendini kontrol et: y=3 için x=1 bulunur; r(1)=-3/(1-2)=3 sağlanıyor mu?
5.a n grafik-max/minn grafiğinde maksimum-minimum
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Dallar sınırsız uzanır.
- n(x)=3/(x-2)+1 grafiğinin asimptotları x=2 ve y=1'dir.
- x, 2'ye sağdan yaklaşınca n(x) sınırsız büyür, soldan yaklaşınca sınırsız küçülür.
- Bu nedenle en büyük ya da en küçük değer alınmaz.
- y=1'i minimum ya da maksimum değer sanmak — grafik bu değere yaklaşır ama hiç almaz.
- Çizimde görünen en uç noktayı maksimum yazmak — dallar çizim alanının dışına da sınırsız uzanır.
Kendini kontrol et: Hangi değeri en büyük seçersen seç, x'i 2'ye sağdan daha çok yaklaştırınca daha büyük değer bulabiliyor musun?
5.a n cebirsel-artan/azalann için artan-azalan cebirsel
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Aynı tarafta x1<x2 için 3/(x1-2)>3/(x2-2), 1 eklemek sırayı değiştirmez.
- n(x)=3/(x-2)+1 için aynı aralıkta x1<x2 alalım (x≠2).
- x1-2 ve x2-2 aynı işaretli olduğundan 3/(x1-2)>3/(x2-2) olur.
- Her iki tarafa 1 eklemek sırayı değiştirmez: n(x1)>n(x2).
- x1 ve x2'yi farklı dallardan seçmek — x1=1, x2=3 için n(1)<n(3) çıkar ve yanlış sonuca götürür.
- Paydalar sıralanınca kesirlerin de aynı yönde sıralandığını sanmak — pozitif payda büyüdükçe kesir küçülür.
Kendini kontrol et: x1=3, x2=4 için n(x1)=4 ve n(x2)=2.5 buluyor musun; n(x1)>n(x2) sağlanıyor mu?
5.a n cebirsel-max/minn için maksimum-minimum cebirsel
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Her aralıkta kesin azalan ve uçlarda sınırsız olduğundan uç değer bulunmaz.
- n(x)=3/(x-2)+1 her iki aralıkta kesin azalandır.
- x→2⁺ iken n(x)→+∞, x→2⁻ iken n(x)→-∞ olur.
- x→±∞ iken n(x) 1'e yaklaşır ama 1 olmaz.
- Ulaşılan en büyük veya en küçük değer olmadığından maksimum ve minimum yoktur.
- Maksimumu 1 yazmak — n(x)=1 denkleminin çözümü yoktur, bu değer alınmaz.
- Azalan fonksiyonun uç noktada maksimum alacağını düşünmek — aralıklar açık olduğundan uç nokta yoktur.
Kendini kontrol et: n(x)=1 denklemini çözmeye çalış; 3/(x-2)=0 olacak bir x bulabiliyor musun?
5.b k grafik-tanımk(x)=2/x grafiğinden tanım kümesi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Grafik y eksenini kesmez; x=0 dikey asimptottur.
- k(x)=2/x ifadesinde payda x'tir.
- Payda sıfır olamayacağından x=0 tanımsızdır; grafik y eksenini kesmez.
- Diğer tüm gerçek sayılarda 2/x hesaplanabilir.
- Tanım kümesini R yazmak — x=0'da payda sıfır olur, fonksiyon tanımsızdır.
- Tanım kümesini yalnız pozitif sayılar sanmak — negatif x için de 2/x hesaplanır.
Kendini kontrol et: k(-1) ve k(0) değerlerini hesaplamayı dene; hangisi tanımsız çıkıyor?
5.b k grafik-görüntük grafiğinden görüntü kümesi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Grafik x eksenini kesmez; y=0 yatay asimptottur.
- k(x)=2/x için y=2/x yazılır.
- Pay 2 sıfır olmadığından y=0 değeri alınamaz; grafik x eksenini kesmez.
- y≠0 her değer için x=2/y bulunur.
- Görüntü kümesini tanım kümesiyle karıştırıp gerekçesiz kopyalamak — burada aynı çıksa da y ekseni ayrıca incelenmelidir.
- Görüntü kümesini (0,∞) yazmak — x<0 için k(x) negatif değerler de alır.
Kendini kontrol et: k(x)=-4 olacak bir x bulabiliyor musun? Peki k(x)=0 olacak bir x var mı?
5.b k cebirsel-tanımk için tanım kümesini cebirsel bulma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Payda x=0 olamaz.
- k(x)=2/x ifadesinde payda sıfır olamaz.
- Payda x olduğundan x=0 çıkarılır.
- Tanım kümesi R-{0} olarak yazılır.
- Payı sıfır yapan değeri aramak — tanımsızlığı payda belirler, pay değil.
Kendini kontrol et: Paydayı sıfır yapan değeri yerine koyunca ifade gerçekten tanımsız oluyor mu?
5.b k cebirsel-görüntük için görüntü kümesini cebirsel bulma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
y=2/x denkleminde x=2/y; y=0 için çözüm yoktur, diğer her y için vardır.
- k(x)=2/x için y=2/x yazıp x'i y cinsinden çözeriz.
- x=2/y bulunur; bu ifade y=0 için tanımsızdır.
- y≠0 olan her y için x=2/y sıfırdan farklı olur ve tanım kümesindedir.
- x=2/y bulduktan sonra bulunan x'in tanım kümesinde olup olmadığını kontrol etmemek — x≠0 olduğu ayrıca gösterilmelidir.
Kendini kontrol et: y=5 için x=2/5 bul ve k(2/5)'in gerçekten 5 olduğunu kontrol et.
5.b r grafik-tanımr(x)=-3/(x-2) grafiğinden tanım kümesi
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Dikey asimptot x=2'dir.
- r(x)=-3/(x-2) ifadesinde payda x-2'dir.
- x-2=0 yani x=2 için fonksiyon tanımsızdır; grafikte x=2 dikey asimptottur.
- Diğer tüm gerçek sayılarda değer hesaplanabilir.
- Tanım kümesini R-{-2} yazmak — x-2=0 denkleminin çözümü x=2'dir, işaret ters alınmamalıdır.
- Paydaki eksi işareti nedeniyle tanım kümesinin değiştiğini sanmak — pay tanımsızlığı etkilemez.
Kendini kontrol et: x=2'yi paydaya koyunca sıfır çıkıyor mu? x=-2 için r(x) hesaplanabiliyor mu?