Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 257
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 257 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
8Araç hızına bağlı yol süresi f(V)=D/V için f'nin nitel özelliklerini problem bağlamında yorumlama
Çözüm Yolu
V>0 olmalıdır, f(V)=500/V de pozitif değerler alır ve her pozitif süreye karşılık bir hız vardır. V arttıkça süre azalır; en büyük ya da en küçük süre yoktur.
- D=500 alınarak f(V)=500/V yazılır.
- Hız pozitif olmak zorunda olduğundan tanım kümesi (0,∞) olur.
- 500/V her zaman pozitiftir ve her pozitif t için V=500/t bulunur; görüntü kümesi (0,∞).
- V büyüdükçe 500/V küçülür; f azalandır, yani hız artınca süre kısalır.
- Hız sınırsız küçülüp büyüyebildiğinden en uzun ya da en kısa süre yoktur; maksimum ve minimum yoktur.
- Tanım kümesini R-{0} yazmak — problem bağlamında hız negatif olamaz.
- V=0 için sürenin 0 olduğunu düşünmek — hız sıfırken araç yol alamaz, f(0) tanımsızdır.
- Matematiksel sonucu bağlamla ilişkilendirmemek — her özellik hız ve süre üzerinden yorumlanmalıdır.
Kendini kontrol et: V=100 için 5 saat, V=50 için 10 saat çıkıyor mu; hız artınca süre azalıyor mu?
9 - Görüntü KümesiTablo satırı: g(x)=a/(x+r)+k için görüntü kümesinin grafik ve cebirsel doğrulaması
Çözüm Yolu
Grafik y=k doğrusuna yaklaşır ama onu kesmez. Cebirsel: a/(x+r)=y−k denkleminin çözümü için y−k≠0 olmalıdır, çünkü a/(x+r) hiçbir zaman 0 olmaz.
- Grafikte eğrinin y=k kesikli doğrusuna yaklaştığı ama onu hiç kesmediği görülür.
- Cebirsel olarak y=a/(x+r)+k'dan a/(x+r)=y-k elde edilir.
- a≠0 olduğundan sol taraf 0 olamaz; y≠k için x=a/(y-k)-r bulunur.
- Grafikte eğrinin y eksenini k'nın üstünde kestiğini görüp görüntü kümesini (k,∞) sanmak — sol dal k'nın altındaki değerleri alır.
Kendini kontrol et: x=a/(y-k)-r değerini g'de yerine koyunca y'yi geri elde edebiliyor musun?
9 - İşaretiTablo satırı: g fonksiyonunun pozitif ve negatif olduğu aralıklar
Çözüm Yolu
g(x)=0 için x+r=−a/k bulunur. Grafikte x=−r'nin sağında eğri y=k>0 üstünde kalır; solunda eğri x ekseninin sıfırda kesilmesinden sonra negatif olur.
- g(x)=0 çözülür: a/(x+r)=-k, buradan x=-r-a/k bulunur; a,k>0 olduğundan bu nokta -r'nin solundadır.
- x>-r iken a/(x+r)>0 ve k>0 olduğundan g pozitiftir.
- Sol kolda grafik x eksenini x=-r-a/k'da keser; bu noktanın solunda pozitif, sağında (x=-r'ye kadar) negatiftir.
- Sol kolun tamamını negatif saymak — kol y=k>0'a yaklaştığı için kökün solunda pozitiftir.
- x=-r'yi işaret değişim noktası olarak kök sanmak — orada g tanımsızdır.
Kendini kontrol et: a=2, r=3, k=1 için kök x=-5 mi; g(-6)>0 ve g(-4)<0 sağlanıyor mu?
9 - Artanlığı-AzalanlığıTablo satırı: g fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıklar
Çözüm Yolu
x1<x2 aynı aralıkta iken g(x1)−g(x2)=a(x2−x1)/((x1+r)(x2+r))>0 olur. Grafik de her kolda aşağı doğru iner.
- Grafikte iki kolun da soldan sağa aşağı indiği görülür.
- Aynı aralıkta x1<x2 alınır: g(x1)-g(x2)=a(x2-x1)/((x1+r)(x2+r)).
- Aynı aralıkta (x1+r)(x2+r)>0, x2-x1>0 ve a>0 olduğundan fark pozitiftir.
- Buradan g(x1)>g(x2) olur; g her aralıkta azalandır.
- x1 ve x2'yi -r'nin iki farklı yanından seçmek — bu durumda (x1+r)(x2+r)<0 olur ve kanıt bozulur.
Kendini kontrol et: Farkı hesaplarken k'lar birbirini götürüyor mu ve paydanın işaretini doğru belirledin mi?
9 - Maksimum-Minimum NoktalarıTablo satırı: g fonksiyonunun maksimum ve minimum noktaları
Çözüm Yolu
Eğri her iki kolda da sonsuza açılır; hiçbir değer alınabilecek en büyük ya da en küçük değer değildir.
- Grafikte sağ kol x=-r'ye yaklaşırken yukarı, sol kol aşağı doğru sınırsız uzanır.
- Her iki kol da y=k'ya yaklaşır ama bu değere ulaşmaz.
- Bu yüzden alınan en büyük ya da en küçük değer yoktur.
- Grafiğin y eksenini kestiği g(0)=a/r+k noktasını maksimum sanmak — sağ kolda bu değerden büyük değerler de vardır.
Kendini kontrol et: Herhangi bir g(x0) seç; aynı kolda ondan daha büyük ve daha küçük değer bulabiliyor musun?
10g(x)=2/(x+3)−1 için maksimum-minimum ve artan-azalan aralıkları bulma; yöntemleri değerlendirme
Çözüm Yolu
Grafik x=−3 ve y=−1 asimptotlu iki koldan oluşur. Cebirsel: aynı aralıkta x1<x2 için g(x1)−g(x2)=2(x2−x1)/((x1+3)(x2+3))>0. Grafik görsel ve hızlıdır, cebir kesin ve genel kanıt verir.
- g(x)=2/(x+3)-1 için asimptotları bul: x+3=0'dan x=-3, yatay asimptot y=-1.
- a=2>0 olduğundan dallar sağ-üst ve sol-altta; grafik her kolda soldan sağa alçalır.
- Cebirsel: aynı aralıkta x1<x2 için g(x1)-g(x2)=2(x2-x1)/((x1+3)(x2+3))>0, yani g azalandır.
- x→-3 iken değerler ±∞'a gider, y=-1 alınmaz; maksimum ve minimum yoktur.
- Yöntemleri karşılaştır: grafik hızlı sezgi verir, cebir kesin ve genel kanıt sağlar.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Grafik yönteminin olumsuz yönü olarak çizim ölçeğinin yanıltıcı olabileceği vurgulanır. (Yöntem değerlendirmesinde farklı ama doğru gerekçeler sunulduğunda)
- Yatay asimptotu y=1 almak — ifadedeki -1 grafiği aşağı öteler, asimptot y=-1'dir.
- Dikey asimptotu x=3'te çizmek — x+3=0 çözümü x=-3'tür.
- y=-1'i minimum değer yazmak — g bu değeri hiç almaz.
Kendini kontrol et: g(-2)=1 ve g(-1)=0 değerlerini hesapla; x artarken g azalıyor mu?