Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 266
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 266 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
3-gg(x)=4x için grafiği, tersin cebirsel temsilini ve tersin grafiğini doldur.
Çözüm Yolu
Grafikler y=x doğrusuna göre simetriktir; (1,4) noktasının simetriği (4,1) olur.
- Verilen: g(x)=4x. İstenen: g'nin grafiği, tersinin kuralı ve tersinin grafiği.
- g(0)=0 ve g(1)=4 olduğundan g'nin grafiği (0,0) ve (1,4) noktalarından geçen doğrudur.
- y=4x yazıp x ile y'nin yerini değiştiririz: x=4y, buradan y=x/4 olur.
- Tersin kuralı g⁻¹(x)=x/4 bulunur.
- Noktaların koordinatları yer değiştirir: g⁻¹ grafiği (0,0) ve (4,1) noktalarından geçer; iki grafik y=x doğrusuna göre simetriktir.
- Tersi g⁻¹(x)=−4x veya 1/(4x) yazmak — ters fonksiyon, işlemi geri alan fonksiyondur; 4 ile çarpmanın tersi 4'e bölmektir.
- Ters grafiği (1,4) yerine (−1,−4) gibi noktalardan çizmek — ters grafikte yalnız koordinatlar yer değiştirir, işaret değişmez.
Kendini kontrol et: g⁻¹(g(1)) hesapla: g(1)=4, g⁻¹(4)=4/4=1 çıkıyor mu?
3-hh(x)=x-2 için grafiği, tersin cebirsel temsilini ve tersin grafiğini doldur.
Çözüm Yolu
h(0)=-2 ve h(2)=0 olur; noktalar yer değiştirince tersin noktaları elde edilir. İki grafik y=x'e göre simetriktir.
- Verilen: h(x)=x−2. İstenen: h'nin grafiği, tersinin kuralı ve grafiği.
- h(0)=−2 ve h(2)=0 olduğundan h'nin grafiği (0,−2) ve (2,0) noktalarından geçer.
- y=x−2 eşitliğinde x ile y'nin yerini değiştiririz: x=y−2, buradan y=x+2 olur.
- Tersin kuralı h⁻¹(x)=x+2 bulunur.
- Noktalar yer değiştirir: h⁻¹ grafiği (−2,0) ve (0,2) noktalarından geçer; grafikler y=x'e göre simetriktir.
- Tersi h⁻¹(x)=x−2 veya −x+2 yazmak — 2 çıkarmanın tersi 2 eklemektir.
- Ters grafiği h grafiğinin x eksenine göre simetriği sanmak — simetri ekseni y=x doğrusudur.
Kendini kontrol et: h⁻¹(h(5)) hesapla: h(5)=3, h⁻¹(3)=3+2=5 oluyor mu?
4Doldurulan tabloya göre genellemeleri ile varsayımları karşılaştır.
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar
Tablolarda her fonksiyonun tersi de doğrusal çıktı; grafiklerin simetrisi görüldü. Kişisel varsayımlar farklıysa tabloya göre düzeltilir.
- Tablodaki her satırda fonksiyonun ve tersinin kuralını yan yana incele: f(x)=x, g(x)=4x, h(x)=x−2 ve tersleri.
- Terslerin de ax+b biçiminde, yani doğrusal olduğunu belirle.
- Grafiklerde her fonksiyonun ve tersinin y=x doğrusuna göre simetrik olduğunu gözlemle.
- Bu gözlemleri önceden yaptığın varsayımlarla karşılaştır; uyuşanları doğrula, uyuşmayanları tabloya göre düzelt.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Varsayımım kısmen yanlıştı; ters grafiği x eksenine göre simetrik sanıyordum, tablo y=x'e göre simetri gösterdi. (Öğrencinin önceki varsayımı tablo sonuçlarıyla uyuşmuyorsa ve düzeltmeyi doğru yapıyorsa geçerlidir.)
- Varsayımları gözlemle karşılaştırmadan yalnız tekrar etmek — soru, tablodaki sonuçlarla karşılaştırma istemektedir.
- Ters grafiğin x veya y eksenine göre simetrik olduğunu genellemek — tablodaki grafikler y=x doğrusuna göre simetriktir.
Kendini kontrol et: Tablodaki her ters grafikte, fonksiyon grafiğindeki bir (a,b) noktasının (b,a) olarak yer aldığını gördün mü?
5Doğrusal fonksiyon ile tersi arasındaki ilişkiye dair önermeni matematiksel olarak doğrulayacak şekilde sun.
Çözüm Yolu
Bileşke işlemi her iki sırayla da birim fonksiyonu verir; bu da ikisinin birbirinin tersi olduğunu kanıtlar.
- Genel doğrusal fonksiyonu yaz: f(x)=ax+b, a≠0.
- y=ax+b eşitliğinde x ile y'yi değiştir: x=ay+b, buradan y=(x−b)/a; yani f⁻¹(x)=(x−b)/a.
- Doğrula: f(f⁻¹(x))=a·(x−b)/a+b=x−b+b=x.
- Diğer sırayı da doğrula: f⁻¹(f(x))=(ax+b−b)/a=x.
- f üzerindeki (m,n) noktası f⁻¹ üzerinde (n,m) olur; bu yüzden grafikler y=x'e göre simetriktir.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Doğrusal f(x)=ax+b (a≠0) fonksiyonunun tersi eğimi 1/a olan doğrusal bir fonksiyondur; grafikleri y=x'e göre simetriktir. (Ters kuralın (x−b)/a olduğu cebirsel olarak gösterilirse geçerlidir.)
- a=0 durumunu dışarıda bırakmamak — sabit fonksiyon bire bir olmadığından tersi yoktur.
- Yalnız bir örnekle (ör. g(x)=4x) genelleme yapmak — matematiksel doğrulama için genel f(x)=ax+b üzerinden gösterilmelidir.
- Yalnız f(f⁻¹(x))=x göstermek — iki bileşkenin de birim fonksiyon olduğu kontrol edilmelidir.
Kendini kontrol et: a=2, b=1 alıp f⁻¹(x)=(x−1)/2 için f(f⁻¹(3))=3 çıkıyor mu?