Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 267
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 267 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
6-hYazılımla h(x)=3x ve tersinin grafiğini çiz, tersin cebirsel temsilini yaz.
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
x=3y olduğundan y=x/3 bulunur. Grafikler y=x doğrusuna göre simetriktir.
- Verilen: h(x)=3x. İstenen: tersinin kuralı ve iki grafik.
- h(0)=0 ve h(1)=3 olduğundan h'nin grafiği (0,0) ve (1,3) noktalarından geçer.
- y=3x eşitliğinde x ile y yer değiştirir: x=3y, buradan y=x/3 olur.
- Tersin kuralı h⁻¹(x)=x/3 bulunur.
- h⁻¹ grafiği (0,0) ve (3,1) noktalarından geçer; iki grafik y=x doğrusuna göre simetriktir.
- Tersi 3/x yazmak — 3 ile çarpmanın tersi 3'e bölmektir; 3/x doğrusal değildir.
- Ters grafiği h grafiğine göre daha dik çizmek — h⁻¹'in eğimi 1/3 olduğundan grafik daha yatıktır.
Kendini kontrol et: h⁻¹(3) kaç? 3/3=1 çıkıyorsa ve h(1)=3 ise doğrudur.
6-kYazılımla k(x)=2x+1 ve tersinin grafiğini çiz, tersin cebirsel temsilini yaz.
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
x=2y+1 olduğundan y=(x-1)/2 bulunur. Noktalar yer değiştirir, grafikler y=x'e göre simetriktir.
- Verilen: k(x)=2x+1. İstenen: tersinin kuralı ve iki grafik.
- k(0)=1 ve k(−0,5)=0 olduğundan k'nin grafiği (0,1) ve (−0,5; 0) noktalarından geçer.
- y=2x+1 eşitliğinde x ile y yer değiştirir: x=2y+1, buradan y=(x−1)/2 olur.
- Tersin kuralı k⁻¹(x)=(x−1)/2 bulunur.
- k⁻¹(1)=0 ve k⁻¹(3)=1 olduğundan ters grafiği (1,0) ve (3,1) noktalarından geçer; grafikler y=x'e göre simetriktir.
Kabul edilebilir başka cevaplar: k⁻¹(x)=x/2−1/2 ((x−1)/2 ifadesinin eş değer yazımı olduğundan her durumda geçerlidir.)
- Tersi (x+1)/2 veya x/2−1 yazmak — önce 1 çıkarılır, sonra 2'ye bölünür; işlem sırası tersine çevrilmelidir.
- Tersi 1/(2x+1) yazmak — ters fonksiyon, çarpmaya göre ters ile aynı şey değildir.
Kendini kontrol et: k(1)=3 iken k⁻¹(3)=(3−1)/2=1 çıkıyor mu?
7Doğrusal fonksiyonun grafiğinin y=x'e göre simetriği ile tersinin grafiği arasındaki ilişkiyi belirle.
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
(a,b) noktası f üzerindeyse (b,a) noktası f⁻¹ üzerindedir; bu nokta (a,b)'nin y=x'e göre simetriğidir.
- 6. maddedeki grafiklerde fonksiyon grafiğinden bir nokta seç, ör. h için (1,3).
- Bu noktanın y=x doğrusuna göre simetriğini bul: koordinatlar yer değiştirir, (3,1) olur.
- (3,1) noktasının ters fonksiyonun grafiği üzerinde olduğunu kontrol et: h⁻¹(3)=1.
- Her nokta için bu geçerli olduğundan simetrik grafik ile ters grafiğin aynı olduğu sonucuna var.
- Simetri eksenini x veya y ekseni almak — soruda ve ters fonksiyonda simetri ekseni y=x doğrusudur.
- İki grafiğin yalnız kesiştiğini söyleyip aynı olduğunu belirtmemek — simetrik grafik ile ters grafik tamamen çakışır.
Kendini kontrol et: g(x)=x−4 için (4,0) noktasının simetriği (0,4) g⁻¹ grafiğinde mi?
8Doğrusal fonksiyonların tersleri hakkındaki önermeleri tanım-değer kümesi ve simetri bağlamında değerlendir.
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Reel sayılarda tanımlı a≠0 doğrusal fonksiyonda tanım ve görüntü kümesi R'dir, bu yüzden tersi de R'den R'ye tanımlı doğrusal fonksiyondur.
- a≠0 olan doğrusal f(x)=ax+b fonksiyonunun R'den R'ye bire bir ve örten olduğunu belirt; bu nedenle tersi vardır.
- f'nin tanım kümesinin f⁻¹'in görüntü kümesi, f'nin görüntü kümesinin f⁻¹'in tanım kümesi olduğunu yaz.
- Örnekte doğrula: k(x)=2x+1 için tanım ve görüntü kümesi R; k⁻¹ de R'den R'ye tanımlıdır.
- Grafiklerin y=x doğrusuna göre simetrik olduğunu 6. maddedeki çizimlerle destekle.
- a=0 ise f sabit fonksiyondur, bire bir olmadığından tersi olmadığını ekle.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Kısıtlı tanım kümesinde [a,b] aralığındaki doğrusal fonksiyonun tersi [f(a),f(b)] aralığında tanımlıdır. (Öğrenci tanım kümesini aralıkla sınırlandırıp kümelerin yer değiştirdiğini gösterirse geçerlidir.)
- Tanım ve görüntü kümelerinin terste aynı kaldığını söylemek — iki küme yer değiştirir.
- Her doğrusal fonksiyonun tersi olduğunu söylemek — eğimi sıfır olan sabit fonksiyonun tersi yoktur.
Kendini kontrol et: Tanım kümesi [0,2] olan f(x)=2x+1'in tersinin tanım kümesi [1,5] mi?