Matematik 10. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 271 Cevapları

f(x)=a/(x−p)+q için f:R−{p}→R−{q} bire bir ve örtendir; tersi a/(x−q)+p olup R−{q}→R−{p} fonksiyonudur.

1. Tablodaki her fonksiyonda paydayı sıfır yapan değeri bul: g için 0, k için 4, m için −2.
2. Fonksiyonun hiç almadığı değeri bul: g için 2, k için 0, m için −1.
3. Bu iki değer çıkarılarak tanım ve değer kümesi seçilince fonksiyon bire bir ve örten olur.
4. Genelleme: a/(x−p)+q için R−{p}→R−{q} seçilirse tersi a/(x−q)+p fonksiyondur.

Kendini kontrol et: Genellemen m(x)=1/(x+2)−1 için R−{−2}→R−{−1} kümelerini veriyor mu?

y=1/(x+1) denkleminde x=1/y−1 bulunur; kümeler yer değiştirir.

1. h(x) = 1/(x + 1); payda sıfır olamaz, x ≠ −1. Pay 1 olduğundan h(x) ≠ 0.
2. Böylece h: R − {−1} → R − {0} birebir ve örtendir.
3. y = 1/(x + 1) yazılır; x + 1 = 1/y, buradan x = 1/y − 1.
4. Değişkenler değiştirilir: h⁻¹(x) = 1/x − 1 ve h⁻¹: R − {0} → R − {−1} olur.

Kendini kontrol et: h(1)=1/2 ise h⁻¹(1/2)=2−1=1 çıkıyor mu?

h grafiği 1/x'in 1 birim sola kaydırılmışıdır; ters grafik 1/x'in 1 birim aşağı kaydırılmışıdır. Örnek nokta: (0,1) ve (1,0).

1. h için asimptotları çiz: dikey x=−1, yatay y=0.
2. h'nin birkaç noktasını işaretle: (0,1), (1,1/2), (−2,−1); kolları asimptotlara yaklaştır.
3. h⁻¹ için asimptotları çiz: dikey x=0, yatay y=−1.
4. h'deki noktaların koordinatlarını değiştir: (1,0), (1/2,1), (−1,−2); h⁻¹ kollarını çiz.
5. y=x doğrusunu çizip iki grafiğin bu doğruya göre simetrik olduğunu kontrol et.

Kendini kontrol et: h üzerindeki (0,1) noktasının y=x'e göre simetriği (1,0) h⁻¹ grafiğinde mi?

y+1=1/(x−2) olduğundan x=1/(y+1)+2 bulunur.

1. k(x) = 1/(x − 2) − 1; payda sıfır olamaz, x ≠ 2. Kesir sıfır olamadığından k(x) ≠ −1.
2. Böylece k: R − {2} → R − {−1} birebir ve örtendir.
3. y = 1/(x − 2) − 1 yazılır; y + 1 = 1/(x − 2), x − 2 = 1/(y + 1).
4. x = 1/(y + 1) + 2 bulunur; değişkenler değiştirilir.
5. k⁻¹(x) = 1/(x + 1) + 2 ve k⁻¹: R − {−1} → R − {2} olur.

Kendini kontrol et: k(3)=0 ise k⁻¹(0)=1/1+2=3 çıkıyor mu?

k grafiği 1/x'in 2 sağa, 1 aşağı kaydırılmışıdır; ters grafikte asimptotlar yer değiştirir. Örnek nokta: (3,0) ve (0,3).

1. k için asimptotları çiz: dikey x=2, yatay y=−1.
2. k'nin noktalarını işaretle: (3,0), (1,−2), (4,−1/2); kolları asimptotlara yaklaştır.
3. k⁻¹ için asimptotları çiz: dikey x=−1, yatay y=2.
4. Koordinatları değiştirerek k⁻¹ noktalarını işaretle: (0,3), (−2,1), (−1/2,4); kolları çiz.
5. y=x doğrusuna göre iki grafiğin simetrik olduğunu kontrol et.

Kendini kontrol et: Asimptotların kesişim noktası k için (2,−1), k⁻¹ için (−1,2) mi?

Her türetilmiş fonksiyonda tanım kümesindeki dışlanan değer ters fonksiyonun değer kümesinden dışlanır, değer kümesindeki dışlanan değer tersin tanım kümesinden dışlanır.

1. Tablodaki g, h ve k için fonksiyonun ve tersinin kümelerini yan yana yaz.
2. Fonksiyonun tanım kümesinden çıkarılan değerin tersin değer kümesinden çıkarıldığını gör.
3. Fonksiyonun değer kümesinden çıkarılan değerin tersin tanım kümesinden çıkarıldığını gör.
4. Grafiklerde dikey ve yatay asimptotların yer değiştirdiğini işaretle.
5. Bu gözlemler 3. sorudaki genellemeyle uyuştuğu için varsayım doğrulanır.

Kendini kontrol et: h: R−{−1}→R−{0} ve h⁻¹: R−{0}→R−{−1} kümeleri bu kurala uyuyor mu?

y=(ax+b)/(cx+d) çözülünce x=(−dy+b)/(cy−a) bulunur. Bire bir ve örten olması şartıyla ters tek değerlidir; ad−bc=0 ise f sabit olur ve ters yoktur.

1. Genel biçimi yaz: f(x)=(ax+b)/(cx+d), c≠0 ve ad−bc≠0.
2. Payda sıfır olmamalı: x≠−d/c; f(x)=a/c olacak bir x bulunmadığı için değer kümesi R−{a/c}.
3. y=(ax+b)/(cx+d) ise cxy+dy=ax+b, x(cy−a)=b−dy.
4. x=(−dy+b)/(cy−a) bulunur; değişkenler değiştirilince f⁻¹(x)=(−dx+b)/(cx−a).
5. ad−bc=0 ise f sabit olur, bire bir olmaz ve tersi fonksiyon olmaz.

Kendini kontrol et: Formülü g(x)=(2x+1)/x için uygula: g⁻¹(x)=1/(x−2) sonucu çıkıyor mu?