Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 278
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 278 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
16.aUçurtmanın yüksekliğine bağlı geçen zamanın cebirsel temsili
Çözüm Yolu
h = t²+2t = (t+1)²−1 olduğundan t+1 = √(h+1); zaman negatif olamayacağı için pozitif kök alınır.
- Verilen: h=t²+2t. İstenen: zamanı (t) yüksekliğe (h) bağlı yazmak.
- Sağ tarafı tamkareye tamamlayalım: t²+2t = (t+1)²−1, yani h=(t+1)²−1.
- Her iki tarafa 1 ekleyelim: (t+1)² = h+1.
- Karekök alalım; zaman negatif olamayacağından t+1 pozitif, t+1=√(h+1).
- Her iki taraftan 1 çıkaralım: t(h) = √(h+1) − 1.
- Tamkare tamamlarken −1'i unutup h = (t+1)² yazmak — (t+1)² = t²+2t+1 olduğundan 1 fazla gelir.
- Karekökün negatif değerini de almak — zaman negatif olamaz, yalnız pozitif kök alınır.
Kendini kontrol et: t(3) = √4 − 1 = 1 bul; h(1) = 1 + 2 = 3 olduğunu doğrula.
16.bt fonksiyonunun h ile ilişkisini nedenleriyle açıklama
Çözüm Yolu
h:[0,∞)→[0,∞) bire bir ve örten olduğundan tersi vardır; t, h'nin girdi ve çıktısını yer değiştirir, t(h(t))=t olur ve grafikleri y=x'e göre simetriktir.
- h fonksiyonu zamanı girdi, yüksekliği çıktı olarak alır.
- t fonksiyonu ise yüksekliği girdi, zamanı çıktı olarak alır; girdi ve çıktı yer değiştirmiştir.
- t ≥ 0 için h artan, dolayısıyla bire bir ve örtendir; bu yüzden tersi vardır.
- h(t) ile t(h) birbirini götürür: t(h(t)) = t olduğundan t, h'nin tersidir.
- t'yi h'nin 1/h gibi çarpmaya göre tersi sanmak — burada ters fonksiyon, girdi-çıktının yer değiştirmesidir.
- Bire bir olma şartını gerekçe olarak belirtmemek — tersin fonksiyon olması bu şarta bağlıdır.
Kendini kontrol et: h(2) = 8 bul; t(8) = √9 − 1 = 2 çıkıyorsa t, h'nin tersidir.
16.c440 m yüksekliğe ulaşana kadar yükseklik-zaman grafiği
Çözüm Yolu
Soru zamanın yüksekliğe bağlı değişimini istiyor; h=440 için t=20 bulunur, grafik ters fonksiyonun grafiğidir.
- Yüksekliği 440 m alalım: t = √(440+1) − 1 = √441 − 1 = 21 − 1 = 20 sn.
- Yatay eksene yükseklik (m), dikey eksene zaman (sn) yaz.
- Başlangıç noktası t(0) = √1 − 1 = 0 olduğundan (0, 0) işaretlenir.
- Bitiş noktası (440, 20) işaretlenir; ara nokta olarak t(8) = 2, t(120) = 10 alınabilir.
- Noktaları (0,0)'dan (440,20)'ye giden, giderek yatıklaşan artan karekök eğrisiyle birleştir.
- Grafiği doğru parçası olarak çizmek — t(h) karekök fonksiyonudur, eğri giderek yatıklaşır.
- Eksenleri karıştırıp zamanı yatay eksene yazmak — burada bağımsız değişken yüksekliktir.
Kendini kontrol et: h(20) = 400 + 40 = 440 olduğunu hesaplayarak bitiş noktasını doğrula.
16.çGrafikten tanım-görüntü kümesi, artan-azalan ve bire bir olma durumu
Çözüm Yolu
t(h)=√(h+1)−1 yükseklik arttıkça artar; artan fonksiyon bire birdir.
- h(t)=t²+2t ise h+1=(t+1)², t≥0 için zaman t(h)=√(h+1)-1 olur.
- Yükseklik 0'dan 440 m'ye kadar değiştiği için tanım kümesi [0,440].
- t(0)=0 ve t(440)=√441-1=21-1=20 hesaplanır; görüntü kümesi [0,20].
- Yükseklik arttıkça süre de arttığı için fonksiyon artandır; artan fonksiyon bire birdir.
- Tanım ve görüntü kümesini karıştırmak — t(h)'de tanım kümesi yükseklik, görüntü kümesi zaman aralığıdır.
- Görüntü kümesine 21 yazmak — √441 = 21'den 1 çıkarılmalıdır.
Kendini kontrol et: Grafiğe çizdiğin her yatay doğru eğriyi en çok bir noktada kesiyor mu? Kesiyorsa fonksiyon bire birdir.
Uygulama 1 tablof(x)=√x için bağımlı ve bağımsız değişkenin yer değiştirmesiyle tabloyu doldurma
Çözüm Yolu
f(0)=0, f(1)=1, f(4)=2, f(9)=3. Yer değiştirince (0,0),(1,1),(2,4),(3,9) elde edilir; bu noktalar x² fonksiyonuna aittir.
- Verilen: f(x)=√x ve x değerleri 0, 1, 4, 9. İstenen: tabloyu doldurup değişkenler yer değiştirince oluşan fonksiyonu bulmak.
- Karekökleri hesaplayalım: √0=0, √1=1, √4=2, √9=3; bağımlı değişken y değerleri 0, 1, 2, 3 olur.
- Değişkenler yer değiştirince yeni x değerleri 0, 1, 2, 3; yeni y değerleri 0, 1, 4, 9 olur.
- Her y, x'in karesine eşit: 0²=0, 1²=1, 2²=4, 3²=9.
- Oluşan yeni fonksiyon y = x² (x ≥ 0) olarak yazılır.
- Yer değiştirmede eski x değerlerini yine x sütununa yazmak — eski y değerleri yeni x olur.
- Yeni fonksiyonu y = x² yazıp x ≥ 0 koşulunu unutmak — tanım kümesi √x'in görüntü kümesidir.
Kendini kontrol et: Yeni tablodaki her (x, y) çiftinde y = x² sağlanıyor mu? Ör. (2, 4) için 2² = 4.
Uygulama 1.aDeğişken yer değiştirince oluşan ilişkinin fonksiyon olup olmadığı tartışması
Çözüm Yolu
Her x değerine tek bir y=x² karşılık gelir; yani karekök fonksiyonunun tersi, uygun tanım kümesinde fonksiyondur.
- Yer değiştirince elde edilen ilişki y = x², x ≥ 0 biçimindedir.
- Tanım kümesi [0, ∞) içindeki her x için x² tek bir değer verir.
- Her girdiye tek çıktı karşılık geldiği için bu ilişki fonksiyondur.
- x² fonksiyon değildir demek — x² her x'e tek değer verir; bire bir olmaması fonksiyon olmasını engellemez.
- Tanım kümesini tüm ℝ almak — ilişki yalnız √x'in görüntü kümesi [0, ∞) üzerinde tanımlıdır.
Kendini kontrol et: Tablodaki her x değerinin karşısında yalnız bir y değeri var mı?
Uygulama 1.bKarekök fonksiyonunun tersinin fonksiyon olma şartına yönelik varsayım
Çözüm Yolu
Bir fonksiyonun tersinin fonksiyon olması için bire bir ve örten olması gerekir; bu yüzden tanım ve değer kümeleri uygun aralıklarla sınırlandırılmalıdır.
- Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olması için bire bir ve örten olması gerektiğini hatırla.
- f(x) = √x, [0, ∞) üzerinde artan olduğundan bire birdir.
- Değer kümesi [0, ∞) alındığında her değer bir x'ten elde edildiği için örtendir.
- Bu koşullarda tersi f⁻¹(x) = x², x ≥ 0 bir fonksiyondur.
- Tersi tüm ℝ'de x² olarak yazmak — tersin tanım kümesi √x'in görüntü kümesi [0, ∞) ile sınırlıdır.
- Yalnız bire bir şartını söyleyip örtenliği atlamak — tersin tüm değer kümesinde tanımlı olması için örtenlik de gerekir.
Kendini kontrol et: f(f⁻¹(4)) = √16 = 4 ve f⁻¹(f(4)) = (√4)² = 4 eşitliklerini kontrol et.