Kitavuz

Hızlı Sayfa Bul

Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 279

Sayfa 279 4 Çözümlü Madde

Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 279 Cevapları

← Sayfa 278Tüm SayfalarSayfa 280 →
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok

Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?

Tüm cevaplar ve mevcut çözüm rehberleri ücretsiz. Önce dene; sonra ilk adımı, cevabı ve çözüm yolunu aç.

2.gg(x)=√x+4 için tablonun doldurulması

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
x=0,1,4,9 için y=4,5,6,7; yer değiştirince x=4,5,6,7 ve y=0,1,4,9. Tersi ancak [0,∞)→[4,∞) iken fonksiyondur.
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

g(1)=5, g(4)=6, g(9)=7. Yer değiştirince (5,1),(6,4),(7,9) olur; ters g⁻¹(x)=(x−4)².

  1. Verilen: g(x)=√x+4 ve x=0, 1, 4, 9. İstenen: y değerleri ve yer değiştirilmiş tablo.
  2. Her x için karekök alıp 4 ekleriz: g(0)=4, g(1)=5, g(4)=6, g(9)=7.
  3. x ile y yer değiştirince sıralı ikililer (4,0), (5,1), (6,4), (7,9) olur.
  4. ℝ→ℝ'de √x negatif x için tanımsız ve görüntü [4,∞) olduğundan ters fonksiyon değildir.
  5. g:[0,∞)→[4,∞) alınırsa y=√x+4 için √x=y−4, x=(y−4)²; yani g⁻¹(x)=(x−4)².
Sık yapılan hatalar
  • g(x)=√x+4 ifadesini √(x+4) gibi hesaplamak — 4 kökün dışında, önce kök alınır sonra 4 eklenir.
  • Yer değiştirmede yalnız sütunları kaydırıp sıralı ikilileri karıştırmak — her satırda x ve y birlikte yer değiştirir.

Kendini kontrol et: g⁻¹(6)=(6−4)²=4 ve g(4)=6 mı? Bir değeri g'ye, sonucu g⁻¹'e verince başlangıç sayısına dönüyor musun?

2.hh(x)=√(x−2) için tablonun doldurulması

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
x=0 tanımsız, 2→0, 6→2, 11→3; yer değiştirince (0,2),(2,6),(3,11). R→R iken ters fonksiyon değildir; h:[2,∞)→[0,∞) iken h⁻¹(x)=x²+2, h⁻¹:[0,∞)→[2,∞).
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

h(2)=0, h(6)=2, h(11)=3. Ters için x=y²+2 çözülür. Tanım kümesi sınırlanmazsa ters fonksiyon olmaz.

  1. Verilen: h(x)=√(x−2) ve x=0, 2, 6, 11. Karekök içi negatif olamaz, yani x≥2 olmalı.
  2. x=0 için √(−2) tanımsızdır; h(2)=0, h(6)=√4=2, h(11)=√9=3.
  3. Yer değiştirince sıralı ikililer (0,2), (2,6), (3,11) olur.
  4. ℝ→ℝ'de tanımsız değerler olduğundan ters fonksiyon yoktur; h:[2,∞)→[0,∞) olarak sınırlanır.
  5. y=√(x−2) ise y²=x−2, x=y²+2; böylece h⁻¹(x)=x²+2 ve h⁻¹:[0,∞)→[2,∞).
Sık yapılan hatalar
  • h(0)=√2 gibi yazmak — kök içi 0−2=−2 olur, negatif sayının karekökü gerçek sayılarda tanımsızdır.
  • Tersi x²−2 bulmak — √(x−2)=y'den kare alınca x−2=y², yani 2 eklenir.

Kendini kontrol et: h⁻¹(3)=3²+2=11 ve h(11)=3 mü? Tablodaki ikililer birbirini doğruluyor mu?

2.kk(x)=√(x+3)−1 için tablonun doldurulması

Örnek Cevap (Ücretsiz)
x=−3,−2,1,6 için y=−1,0,1,2; yer değiştirince (−1,−3),(0,−2),(1,1),(2,6). R→R iken ters fonksiyon değildir; k:[−3,∞)→[−1,∞) iken k⁻¹(x)=(x+1)²−3, k⁻¹:[−1,∞)→[−3,∞).
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

x+3 tam kare olacak değerler seçildi. Ters için y=√(x+3)−1 den x=(y+1)²−3 bulunur.

  1. Verilen: k(x)=√(x+3)−1. x+3 tam kare olacak x değerleri seçilir: −3, −2, 1, 6.
  2. k(−3)=0−1=−1, k(−2)=1−1=0, k(1)=2−1=1, k(6)=3−1=2.
  3. Yer değiştirince sıralı ikililer (−1,−3), (0,−2), (1,1), (2,6) olur.
  4. ℝ→ℝ'de x<−3 için tanımsız olduğundan ters fonksiyon değildir; k:[−3,∞)→[−1,∞) alınır.
  5. y+1=√(x+3) ise x=(y+1)²−3; yani k⁻¹(x)=(x+1)²−3, k⁻¹:[−1,∞)→[−3,∞).

Kabul edilebilir başka cevaplar: x=13 için y=3; yer değiştirince (3,13) (Tabloya farklı x seçilirse, x≥−3 olduğu ve y=√(x+3)−1 doğru hesaplandığı sürece geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Tabloya x=−4 gibi bir değer yazmak — x+3 negatif olur, k tanımsızdır; x≥−3 seçilmeli.
  • Tersi (x−1)²−3 yazmak — −1'i karşıya geçirirken işaret değişir, y+1=√(x+3) olur.

Kendini kontrol et: k⁻¹(2)=(2+1)²−3=6 ve k(6)=2 mi? Seçtiğin her x için ikili ters yönde de sağlanıyor mu?

2.genellemeTablodan teslerinin fonksiyon olabileceği durumlar hakkında genelleme

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Karekök temelli bir fonksiyonun tersi, tanım kümesi başlangıç noktasından itibaren [a,∞) ve görüntü kümesi [b,∞) olacak biçimde sınırlandığında (bire bir ve örten iken) fonksiyondur; R→R alındığında fonksiyon olmaz.
Çözüm Yolu

Çözüm Yolu

Karekök fonksiyonları kendi tanım aralığında artan, dolayısıyla bire birdir; değer kümesi görüntü kümesine eşitlenince ters fonksiyon tanımlı olur.

  1. Tablodaki üç fonksiyonda ℝ→ℝ alındığında tersin fonksiyon olmadığına dikkat et.
  2. Nedenini belirle: kök içi negatif olan x'lerde fonksiyon tanımsız, görüntü de tüm ℝ'yi kapsamıyor.
  3. Tanım kümesi kök içini sıfır yapan noktadan başlatılınca ([a,∞)) fonksiyonun artan, dolayısıyla bire bir olduğunu gözle.
  4. Değer kümesi görüntü kümesine ([b,∞)) eşitlenince fonksiyon örten olur.
  5. Genelleme: bire bir ve örten olacak biçimde [a,∞)→[b,∞) sınırlanırsa ters de fonksiyondur.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Fonksiyon bire bir ve örten olacak şekilde tanım ve değer kümesi seçilirse tersi de fonksiyon olur. (Bire bir ve örtenlik şartı açıkça ifade edildiği sürece aynı genellemenin farklı anlatımıdır.)

Sık yapılan hatalar
  • Yalnız tanım kümesini sınırlamak — değer kümesi de görüntü kümesine eşitlenmezse fonksiyon örten olmaz.
  • Her karekök fonksiyonunun ℝ→ℝ'de tersinin olduğunu söylemek — tanımsız değerler varken fonksiyon bile değildir.

Kendini kontrol et: Tablodaki g, h ve k için tanım ve değer kümelerin [a,∞)→[b,∞) biçiminde mi ve tersleri hesaplanabiliyor mu?