Kitavuz1–3 · 5–7 · 9–11 & Hazırlık

Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 280

Sayfa 280 4 Çözümlü Madde

Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 280 Cevapları

← Sayfa 279Tüm SayfalarSayfa 281 →
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok

Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?

Tüm cevaplar ve mevcut çözüm rehberleri ücretsiz. Önce dene; sonra ilk adımı, cevabı ve çözüm yolunu aç.

3.hh(x)=√(x+8) için tersin cebirsel temsili, tanım-görüntü kümeleri ve grafikler

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
h:[−8,∞)→[0,∞); h⁻¹(x)=x²−8, h⁻¹:[0,∞)→[−8,∞). Grafikler y=x'e göre simetriktir; −3..3 ızgarasında h⁻¹'in yalnız (√5,−3)'ten (3,1)'e uzanan kısmı görünür.
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

y=√(x+8) ise x=y²−8. h⁻¹(1)=−7 ve h⁻¹(2)=−4 ızgaranın dışındadır; x²−8≥−3 için x≥√5 olmalıdır. h ise (−3,√5)'ten (1,3)'e kadar görünür.

  1. Karekök içi negatif olamaz: x+8≥0 ise x≥−8; karekök değeri de en az 0 olduğundan h:[−8,∞)→[0,∞) yazılır.
  2. y=√(x+8) eşitliğinde iki tarafın karesini al: y²=x+8, buradan x=y²−8 bulunur.
  3. x ile y'nin yerini değiştir: h⁻¹(x)=x²−8; tanım ve görüntü kümeleri yer değiştirir, h⁻¹:[0,∞)→[−8,∞).
  4. h için ızgaradaki noktaları hesapla: h(−3)=√5≈2,24, h(1)=3; eğri bu iki nokta arasında görünür.
  5. Bu noktaların koordinatlarını yer değiştirerek h⁻¹ noktalarını bul: (√5,−3) ve (3,1); h⁻¹ yalnız x≥0 için çizilir.
  6. İki grafiğin y=x doğrusuna göre simetrik olduğunu kontrol ederek tabloyu tamamla.
Sık yapılan hatalar
  • h⁻¹(x)=x²−8 için tanım kümesini ℝ almak — yalnız [0,∞) alınırsa ters fonksiyon olur, aksi hâlde bire bir değildir.
  • h'nin tanım kümesini [8,∞) yazmak — x+8≥0 eşitsizliği x≥−8 verir, işaret ters çevrilmemeli.
  • Tersi bulurken y=√x+8 gibi kökü yalnız x'e uygulamak — 8 kökün içindedir, karesi alınınca x+8 bütün olarak çıkar.

Kendini kontrol et: h(h⁻¹(2)) hesapla: h⁻¹(2)=4−8=−4, h(−4)=√4=2; başladığın sayıya dönüyor musun?

3.kk(x)=4√(x−2) için tersin cebirsel temsili, tanım-görüntü kümeleri ve grafikler

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
k:[2,∞)→[0,∞); k⁻¹(x)=x²/16+2, k⁻¹:[0,∞)→[2,∞). k grafiği (2,0),(3,4) noktalarından geçer; k⁻¹ grafiği (0,2),(4,3),(8,6) noktalarından geçer; iki grafik y=x'e göre simetriktir.
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

y=4√(x−2) ise y/4=√(x−2), x=y²/16+2. Örnek noktalar: k(3)=4, k(6)=8; terste (4,3),(8,6).

  1. Verilen: k(x)=4√(x−2). Karekök içi için x≥2, sonuç ise ≥0; k:[2,∞)→[0,∞).
  2. y=4√(x−2) yazıp her iki tarafı 4'e böleriz: y/4=√(x−2).
  3. Kare alırız: y²/16=x−2, buradan x=y²/16+2; yani k⁻¹(x)=x²/16+2, k⁻¹:[0,∞)→[2,∞).
  4. k için noktalar: k(2)=0, k(3)=4, k(6)=8; yani (2,0),(3,4),(6,8).
  5. k⁻¹ için koordinatlar yer değiştirir: (0,2),(4,3),(8,6). İki grafik y=x doğrusuna göre simetriktir.
Sık yapılan hatalar
  • Kare alırken 4'ü unutup x²+2 yazmak — önce 4'e bölünür, kare alınınca payda 16 olur.
  • (y/4)² ifadesini y²/4 yazmak — paydanın da karesi alınır: 4²=16.

Kendini kontrol et: k⁻¹(4)=16/16+2=3 ve k(3)=4√1=4 mü?

3.karşılaştırmaTablodaki sonuçları genelleme ve varsayımlarla karşılaştırma

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Tüm örneklerde ters fonksiyonun tanım kümesi asıl fonksiyonun görüntü kümesi, görüntü kümesi de asıl fonksiyonun tanım kümesidir; grafikler y=x'e göre simetriktir. Bu, varsayımlarımızı doğrular.
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Karekök türevi fonksiyonlar kendi tanım aralığında bire bir ve örtendir; tersleri karesel parça fonksiyonlardır.

  1. Tablodaki g, h ve k için fonksiyonun ve tersinin tanım-görüntü kümelerini yan yana yaz.
  2. Tersin tanım kümesinin, asıl fonksiyonun görüntü kümesine eşit olduğunu kontrol et.
  3. Tersin görüntü kümesinin, asıl fonksiyonun tanım kümesine eşit olduğunu kontrol et.
  4. Grafiklerde (a,b) noktasının karşılığının (b,a) olduğunu ve eğrilerin y=x'e göre simetrik olduğunu gözle.
  5. Bu gözlemleri 2. sorudaki varsayımlarınla karşılaştırıp doğrulandığını yaz.
Sık yapılan hatalar
  • Tersin tanım kümesini asıl fonksiyonun tanım kümesiyle aynı almak — tanım ve görüntü kümeleri yer değiştirir.

Kendini kontrol et: Her satırda f:[a,∞)→[b,∞) ise f⁻¹:[b,∞)→[a,∞) yazdın mı?

4Karekök türevi fonksiyonların tersinin fonksiyon olması için şart önermesi, matematiksel doğrulama

Örnek Cevap (Ücretsiz)
f(x)=a√(x−b)+c (a>0) için f:[b,∞)→[c,∞) alınırsa f bire bir ve örtendir; f⁻¹(x)=((x−c)/a)²+b, f⁻¹:[c,∞)→[b,∞) fonksiyondur.
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Karekök artan olduğundan bire birdir; görüntü kümesi [c,∞) olarak seçilince örten olur. y=a√(x−b)+c ten x=((y−c)/a)²+b bulunur.

  1. Genel biçimi yaz: f(x)=a√(x−b)+c, a>0. Kök içi için x≥b, kök ≥0 olduğundan f(x)≥c.
  2. f:[b,∞)→[c,∞) seç; karekök artan olduğundan f bire bir, değer kümesi görüntüye eşit olduğundan örtendir.
  3. y=a√(x−b)+c'den (y−c)/a=√(x−b), kare alınca x=((y−c)/a)²+b bulunur.
  4. Önermeyi yaz: f⁻¹(x)=((x−c)/a)²+b, f⁻¹:[c,∞)→[b,∞) bir fonksiyondur.
  5. Doğrula: örneğin h(x)=√(x+8) için a=1, b=−8, c=0 alınca h⁻¹(x)=x²−8 elde edilir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: a<0 için f:[b,∞)→(−∞,c] alınırsa f⁻¹(x)=((x−c)/a)²+b, f⁻¹:(−∞,c]→[b,∞) fonksiyondur. (Öğrenci a'nın negatif olduğu durumu da önermesine katarsa geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Tersi ((x−c)/a)² yazıp b'yi unutmak — x−b karekök içinden çıkınca b eklenmelidir.
  • Değer kümesini ℝ bırakmak — c'den küçük değerlerin karşılığı olmadığından fonksiyon örten olmaz.

Kendini kontrol et: Genel formülü k(x)=4√(x−2) için uygularsan (a=4, b=2, c=0) k⁻¹(x)=x²/16+2 çıkıyor mu?