Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 287
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 287 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
1.çf fonksiyonunun grafiğini verilen dik koordinat sistemine çizme
Çözüm Yolu
a=-1<0 olduğundan parabol aşağı açılır. Tepe noktası tamkare biçiminden (10,4) okunur; köklerden geçecek şekilde çizilir.
- Baş katsayı a=−1<0 olduğundan parabolün kolları aşağı bakar.
- Tamkare biçimi f(x)=−(x−10)²+4'ten tepe noktası (10, 4) okunur.
- Sıfırlar 8 ve 12 olduğundan grafik x eksenini (8, 0) ve (12, 0) noktalarında keser.
- x=0 için f(0)=−96; grafik y eksenini (0, −96) noktasında keser.
- Bu noktalardan geçen, x=10 doğrusuna göre simetrik ve kolları aşağı bakan parabol çizilir.
- Kolları yukarı bakan parabol çizmek — x² teriminin katsayısı negatif olduğundan kollar aşağı bakmalı.
- Tepe noktasını (−10, 4) almak — −(x−10)² ifadesinde tepe noktasının apsisi +10'dur.
Kendini kontrol et: Çizdiğin parabol (8,0), (10,4) ve (12,0) noktalarından geçiyor ve x=10 doğrusuna göre simetrik mi?
1.dGrafik ve tamkareyle denklem ve eşitsizliklerin çözüm aralıklarını tabloya yazma, ilişkiyi belirleme
Çözüm Yolu
Parabol 8 ile 12 arasında x ekseninin üstünde, dışında altındadır. Kökler denklemin çözümü olup eşitsizliklerin aralık uç noktalarını belirler.
- Verilen: f(x) = -x² + 20x - 96. İstenen: f(x)=0 ve dört eşitsizliğin çözüm aralıkları.
- Tamkare form: f(x) = -(x² - 20x + 100) + 4 = -(x - 10)² + 4.
- f(x)=0 için (x - 10)² = 4, yani x - 10 = ±2; kökler x = 8 ve x = 12.
- a = -1 < 0 olduğundan kollar aşağı bakar; grafik 8 ile 12 arasında x ekseninin üstünde, dışında altındadır.
- Bu yüzden f(x)>0 için (8,12), f(x)≥0 için [8,12]; f(x)<0 için (-∞,8)∪(12,∞), f(x)≤0 için (-∞,8]∪[12,∞).
- İlişki: Denklemin kökleri eşitsizlik aralıklarının uç noktalarıdır; eşitlik içeren eşitsizliklerde kökler aralığa dahil edilir.
- ≤ ve ≥ eşitsizliklerinde kökleri açık aralıkla yazmak — eşitlik varsa 8 ve 12 köşeli parantezle dahil edilmeli.
- Kolları aşağı bakan parabolde f(x)>0 için kökler dışını almak — grafik yalnız kökler arasında x ekseninin üstündedir.
Kendini kontrol et: Her aralıktan bir sayı seç (ör. 0, 10, 20); f(0)<0, f(10)>0, f(20)<0 sonuçları tablonla uyuşuyor mu?
1.eCebirsel ifadeyi tamkareden birinci dereceden çarpanlara ayırma ve işaret tablosu oluşturma
Çözüm Yolu
-(x-10)²+4 = (2-(x-10))(2+(x-10)) = (12-x)(x-8). Çarpanların işaretleri çarpılarak tablo oluşturulur.
- Tamkare biçimden başla: f(x)=−(x−10)²+4 = 2²−(x−10)².
- İki kare farkı a²−b²=(a−b)(a+b) uygulanır: (2−(x−10))(2+(x−10)).
- Parantezler sadeleşir: (12−x)(x−8), yani f(x)=−(x−8)(x−12).
- Çarpanların kökleri 8 ve 12 sayı doğrusuna yerleştirilir.
- Her aralıkta çarpanların işaretleri çarpılır: x<8 için −, 8<x<12 için +, x>12 için −; x=8 ve 12'de 0.
- −(x−8)(x−12) yazarken baştaki eksiyi unutmak — o zaman işaret tablosundaki tüm işaretler ters çıkar.
- İki kare farkında 4 yerine 2 yazmayı unutmak — 4=2² olduğundan a=2 alınmalı.
Kendini kontrol et: −(x−8)(x−12) çarpımını açınca −x²+20x−96 elde ediyor musun?
1.fİşaret tablosuna göre eşitsizliklerin çözüm aralıklarını tabloya yazma
Çözüm Yolu
İşaret tablosunda negatif bölgeler x<8 ve x>12, pozitif bölge 8<x<12'dir; eşitlik içerenlerde kökler de dahil edilir.
- Çarpanlara ayırma: f(x) = -(x - 8)(x - 12); kökler 8 ve 12.
- İşaret tablosu: x<8 iken negatif, 8<x<12 iken pozitif, x>12 iken negatif (en sağda a'nın işareti olan -).
- Negatif bölgeler: f(x)<0 için (-∞,8)∪(12,∞); kökler eklenince f(x)≤0 için (-∞,8]∪[12,∞).
- Pozitif bölge: f(x)>0 için (8,12); kökler eklenince f(x)≥0 için [8,12].
- İşaret tablosuna en sağdan + ile başlamak — en sağdaki işaret baş katsayının işaretidir, burada −'dir.
- Negatif bölgeyi (−∞,8)∩(12,∞) yazmak — iki ayrı aralık birleşim (∪) ile yazılmalı.
Kendini kontrol et: Bulduğun aralıklar d maddesinde grafikten elde ettiğin aralıklarla aynı mı?
2.aSu seviyesinin yürüyüş yolu ile aynı seviyede olması durumunun f'nin nitel özelliği ile ilişkisi ve cebirsel temsili
Bu madde dinleme, deney veya kişisel yorum etkinliğidir. Tek bir doğru cevabı yoktur; cevabı kitaptaki yönergeye göre kendiniz oluşturursunuz.
2.bSu seviyesinin yürüyüş yolunun altında olduğu durumun f ve eşitsizlik bileşenleriyle ilişkisini yazıp paylaşma
Çözüm Yolu
f, su seviyesinin yola göre yüksekliğidir; negatif değer suyun yolun altında olduğunu gösterir.
- Su yolun altındaysa su seviyesinin yola göre yüksekliği negatiftir.
- Bu durum f(x)<0 eşitsizliğiyle ifade edilir; grafik x ekseninin altındadır.
- İşaret tablosuna göre f(x)<0 olan aralık x<8 veya x>12'dir.
Kabul edilebilir başka cevaplar: 0≤x<8 veya x>12 cm (Yağış miktarının negatif olamayacağı bağlama göre dikkate alınırsa geçerlidir.)
- Su yolun altındayken f(x)>0 yazmak — f yolun üstündeki yüksekliği gösterdiği için altta kalınca negatif olur.
- Sınır değerleri 8 ve 12'yi dahil etmek — bu değerlerde su yolla aynı hizadadır, altında değildir.
Kendini kontrol et: Bu aralıktan bir değer seç (ör. x=6); f(6)=−12 negatif çıkıyor mu?