Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10. Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 291
Matematik 10. Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 291 Cevapları
Yapay zekâ ile hazırlandı ve kontrol edildi
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
4 (n(x) tablosu)n(x)=x²-6x için tabloyu doldurma
Çözüm Yolu
x²-6x = (x-3)²-9. Genel formdan x=-b/(2a)=6/2=3 ve n(3)=9-18=-9. Grafik kolları yukarı açık, x eksenini 0 ve 6'da keser.
- n(x) = x² - 6x için katsayılar: a = 1, b = -6, c = 0; a'nın işareti +.
- Tamkare form: x² - 6x = (x - 3)² - 9, yani n(x) = (x - 3)² - 9.
- a > 0 olduğundan maksimum yoktur; minimum noktası x = -b/(2a) = 6/2 = 3.
- Minimum değeri: n(3) = 9 - 18 = -9; tamkare formdaki -9 ile aynıdır.
- Grafik: kolları yukarı açık, tepe (3,-9), x eksenini x(x - 6) = 0'dan 0 ve 6'da keser.
- Sabit terim yazılmadığı için c'yi boş bırakmak — sabit terim yoksa c = 0 yazılır.
- Maksimum sütunlarını boş bırakmak — a > 0 iken bu hücrelere örnekteki gibi "Yoktur" yazılmalı.
Kendini kontrol et: (x - 3)² - 9 ifadesini açınca x² - 6x elde ediyor musun?
4aTabloya göre a, b, c türünden maksimum-minimum genellemesi oluşturma
Çözüm Yolu
Tepe noktasının apsisi -b/(2a), ordinatı f(-b/(2a)) = (4ac-b²)/(4a)'dır. Kolların yönünü a'nın işareti belirler.
- Tablodaki örneklerde a'nın işareti ile kolların yönü karşılaştırılır: a > 0 olanlarda minimum, a < 0 olanlarda maksimum vardır.
- Her örnekte tepe noktasının apsisinin -b/(2a) ile aynı olduğu görülür (g için -2, m için 1, n için 3).
- Tepe noktasındaki değer, bu x'in fonksiyonda yerine konmasıyla bulunur: f(-b/(2a)).
- Genelleme: a > 0 ise x = -b/(2a)'da minimum değer f(-b/(2a)); a < 0 ise aynı noktada maksimum değer f(-b/(2a)).
- Bir fonksiyonun hem maksimumu hem minimumu olduğunu yazmak — karesel fonksiyonda a'nın işaretine göre yalnız biri vardır.
- Genellemeyi yalnız a > 0 için yazmak — a < 0 durumu da belirtilmeli.
Kendini kontrol et: Genellemen tablodaki g, m ve n fonksiyonlarının hepsinde doğru sonucu veriyor mu?
4bGenellemeyle h(x)=-x²+4x'in maksimum nokta ve değerini bulma
Çözüm Yolu
a=-1<0, b=4. x=-b/(2a)=-4/(-2)=2; h(2)=-4+8=4.
- Verilen: h(x)=-x²+4x; katsayılar a=-1, b=4, c=0. İstenen: maksimum noktası ve değeri.
- a=-1<0 olduğundan parabolün kolları aşağı bakar, fonksiyonun maksimum değeri vardır.
- Tepe apsisi: x=-b/(2a)=-4/(2·(-1))=2.
- Maksimum değer: h(2)=-(2)²+4·2=-4+8=4.
- -4/(2·(-1)) işleminde işareti karıştırıp x = -2 bulmak — eksi bölü eksi artı olur.
- h(2) hesaplarken -(2)² yerine (-2)² = 4 yazmak — üs önce uygulanır, sonuç -4'tür.
Kendini kontrol et: Genellemeyle bulduğun (2,4), 2b sorusunda tamkare formdan bulduğun sonuçla aynı mı?
5aTopun maksimum yüksekliğinin h'nin nitel özelliğiyle ilişkisi
Çözüm Yolu
h'nin a<0 olduğundan maksimum değeri vardır; topun ulaşabileceği en büyük yükseklik tepe noktasının ordinatına eşittir.
- h(x), topun yerden yüksekliğini gösterir; en büyük yükseklik h'nin aldığı en büyük değerdir.
- a = -1 < 0 olduğundan h'nin maksimum değeri vardır.
- Bu değer tepe noktasının ordinatıdır: h(2) = 4.
- Maksimum yüksekliği tepe noktasının apsisi 2 ile karıştırmak — yükseklik dikey eksende, yani ordinatta okunur.
Kendini kontrol et: Grafikte en yüksek noktanın y koordinatı 4 mü?
5bMaksimum noktadaki yatay yol ile h'nin nitel özelliği ilişkisi
Çözüm Yolu
Top en yüksek noktaya ulaştığında yatayda aldığı mesafe tepe noktasının x koordinatıdır.
- x, topun yatayda aldığı yolu gösterir.
- Top en yüksek noktadayken x değeri, h'nin maksimum noktasının apsisidir.
- x = -b/(2a) = -4/(2·(-1)) = 2 hesaplanır.
- Yatay yol olarak maksimum değer 4'ü yazmak — 4 yüksekliktir; yatay yol tepe noktasının x koordinatıdır.
Kendini kontrol et: Bulduğun x değeri, kökler 0 ve 4'ün tam ortası mı?
5cYere düşüş noktası ile atış noktası arası mesafenin h ile ilişkisi
Çözüm Yolu
Parabol simetri ekseni x=2'ye göre simetriktir; kökler 0 ve 4 olduğundan toplam mesafe 2·2=4 m.
- Topun atıldığı ve düştüğü noktalarda yükseklik 0'dır; bunlar h'nin sıfırlarıdır.
- h(x) = 0 çözülür: x = 0 ve x = 4.
- Mesafe kökler arasındaki uzaklıktır: 4 - 0 = 4 m.
- Parabol x = 2'ye göre simetrik olduğundan bu mesafe tepe apsisinin 2 katına da eşittir: 2·2 = 4.
- Mesafeyi tepe noktasının apsisi 2 olarak vermek — 2 m yalnız tepe noktasına kadar alınan yoldur, toplam mesafe iki katıdır.
Kendini kontrol et: Grafiğin x eksenini kestiği iki nokta arasındaki uzaklık 4 birim mi?
6Maksimum yükseklik ve yatay mesafeleri bulmak için çözüm stratejisi oluşturma
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar
Önce h(x)=0 ile kökler bulunur. Sonra tamkare form veya -b/(2a) ile tepe noktası belirlenir. Tepe apsisi yatay yol, ordinatı maksimum yükseklik, kökler farkı toplam mesafedir.
- h(x) = 0 denklemi çözülerek topun atıldığı ve düştüğü noktalar (kökler) bulunur.
- Tepe noktasının apsisi x = -b/(2a) ile ya da tamkare formdan hesaplanır; bu, yatay yoldur.
- h(-b/(2a)) hesaplanır; bu, topun maksimum yüksekliğidir.
- Kökler arasındaki uzaklık alınarak topun düştüğü nokta ile atış noktası arasındaki mesafe bulunur.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Önce tamkare form h(x) = -(x - 2)² + 4 yazılır; tepe (2,4) doğrudan okunur, kökler (x - 2)² = 4'ten bulunur. (Tamkare formdan tepe noktası ve kökler doğru elde edildiğinde geçerlidir.) · Kökler bulunur, tepe apsisi köklerin ortalaması (0 + 4)/2 = 2 olarak simetriden alınır, h(2) ile yükseklik hesaplanır. (Parabolün simetri ekseninin köklerin orta noktasından geçtiği kullanıldığında geçerlidir.)
- Stratejiyi sonuçlarla karıştırıp yalnız sayıları yazmak — hangi adımda neyin hesaplanacağı sırayla açıklanmalı.
- Tepe noktasının apsisini ve ordinatını yanlış büyüklüğe eşlemek — apsis yatay yol, ordinat yüksekliktir.
Kendini kontrol et: Stratejini uyguladığında 4 m yükseklik, 2 m yatay yol ve 4 m toplam mesafe buluyor musun?