Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 292
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 292 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
7Belirlenen stratejiyle futbol topu problemini çözme
Çözüm Yolu
h(x)=-x²+4x=-(x-2)²+4. Tepe (2,4); kökler 0 ve 4.
- Topun yolu h(x)=-x²+4x; istenen: maksimum yükseklik, o andaki yatay yol ve toplam yatay mesafe.
- Tamkareye tamamlayalım: h(x)=-(x²-4x+4)+4=-(x-2)²+4.
- (x-2)²≥0 olduğundan en büyük değer x=2 iken 4 olur; tepe noktası (2,4).
- Yere düşme için h(x)=0: -x(x-4)=0, kökler x=0 ve x=4.
- Tepe noktasının apsisini (2) maksimum yükseklik sanmak — yükseklik, tepe noktasının ordinatı olan h(2)=4'tür.
- Tamkarede -(x-2)² yazarken dışarıdaki +4'ü unutmak — parantezden çıkan -(-4) terimi mutlaka eklenmelidir.
Kendini kontrol et: h(2)=-4+8=4 ve h(4)=-16+16=0 çıkıyor mu?
8Çözümü farklı yöntemlerle doğrulama
Çözüm Yolu
Genel formül, tamkare form ve grafik aynı sonucu verir: tepe (2,4), kökler 0 ve 4.
- Başlangıç problemindeki fonksiyon h(x) = -x² + 4x; a = -1, b = 4, c = 0.
- Genel formül: x = -b/(2a) = -4/(-2) = 2 ve h(2) = -4 + 8 = 4 bulunur.
- Tamkare form: h(x) = -(x - 2)² + 4 yazılır; tepe noktası (2, 4) olarak aynı çıkar.
- Kökler: -x² + 4x = 0 ise x(4 - x) = 0, x = 0 veya x = 4.
- Simetri kontrolü: köklerin orta noktası (0 + 4)/2 = 2, tepe noktasının apsisiyle aynıdır; sonuç doğrulanır.
- -b/(2a) hesabında a=-1'in işaretini kaçırıp x=-2 bulmak — payda 2·(-1)=-2'dir, sonuç 2 olur.
- h(2) hesaplarken -x² yerine (-2)² alıp +4 yazmak — önce kare alınır, sonra eksi uygulanır: -(2²)=-4.
Kendini kontrol et: Üç yöntem de (formül, tamkare, köklerin orta noktası) aynı tepe noktası (2,4)'ü veriyor mu?
9Olası çözüm stratejileri hakkındaki fikirleri sınıf arkadaşlarıyla paylaşma
Bu madde dinleme, deney veya kişisel yorum etkinliğidir. Tek bir doğru cevabı yoktur; cevabı kitaptaki yönergeye göre kendiniz oluşturursunuz.
10Kullanılan yöntemlerin başka problemlerde nasıl kullanılacağına dair çıkarım yazma
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar
Problem ikinci dereceden bir fonksiyonla modellenir, sonra tamkare form veya -b/(2a) ile uç değer ve kökler bulunur.
- Problemde ne yaptığını özetle: durumu ikinci dereceden bir fonksiyonla modelledin.
- En büyük değeri tamkare form ya da x=-b/(2a) ile tepe noktasından buldun.
- Başlangıç ve bitiş noktalarını f(x)=0 köklerinden buldun.
- Bu adımların hangi benzer durumlarda işe yarayacağını yaz: fırlatılan cisimler, en büyük alan, en büyük kâr gibi.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Köprü kemeri veya su fıskiyesi gibi parabol biçimli yapıların en yüksek noktası ve genişliği aynı yöntemle bulunur. (Durum ikinci dereceden fonksiyonla modellenebiliyorsa geçerlidir.) · Çevresi sabit dikdörtgenin alanını en büyük yapan kenar uzunluğu tepe noktası yöntemiyle bulunur. (Alan ifadesi tek değişkenli ikinci dereceden fonksiyona dönüştürülürse geçerlidir.)
- Yalnız bu problemi tekrar anlatmak — soru, yöntemin başka problemlere nasıl aktarılacağını istiyor.
- Her problemde maksimum aranacağını söylemek — a>0 olduğunda tepe noktası minimum değeri verir.
Kendini kontrol et: Yazdığın çıkarımı futbol topu dışında en az bir farklı örnek problemle açıklayabiliyor musun?
11Çıkarımların geçerliliğini sözel, cebirsel veya grafiksel değerlendirme
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar
Örneğin a>0 için minimum, a<0 için maksimum kuralı hem cebirsel hem grafiksel kontrolde tutarlıdır.
- Çıkarımını sözel olarak yaz: a<0 ise tepe noktası maksimum, a>0 ise minimum verir.
- Cebirsel olarak dene: g(x)=x²+4x+5 için x=-4/2=-2, g(-2)=4-8+5=1 bulunur.
- Tamkare ile karşılaştır: g(x)=(x+2)²+1, minimum değer 1; sonuç aynı.
- Grafiği çizerek ya da yazılımla tepe noktasının (-2,1) olduğunu ve kolların yukarı baktığını gör.
Kabul edilebilir başka cevaplar: k(x)=-2x²+8x fonksiyonunda x=2, k(2)=8 maksimumu hem formülle hem grafikle doğrulanır. (a<0 durumunu sınamak için seçilen herhangi bir fonksiyon kullanılabilir.)
- Tek bir örnekle çıkarımın her zaman doğru olduğuna karar vermek — farklı işaretli a değerleriyle de denenmelidir.
- a>0 iken de maksimum aramak — kollar yukarı bakan parabolün maksimumu yoktur, yalnız minimumu vardır.
Kendini kontrol et: Seçtiğin fonksiyonda cebirsel ve grafiksel sonuçlar aynı tepe noktasını gösteriyor mu?