Kitavuz1–3 · 5–7 · 9–11 & Hazırlık

Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 296

Sayfa 296 8 Çözümlü Madde

Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 296 Cevapları

← Sayfa 295Tüm SayfalarSayfa 298 →
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok

Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?

Tüm cevaplar ve mevcut çözüm rehberleri ücretsiz. Önce dene; sonra ilk adımı, cevabı ve çözüm yolunu aç.

6Belirlenen stratejiyi kullanarak problemi çözme

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
Kazıya zeytin ağacından 19 m sonra başlanır; boru selvi ağacından 3 m sonra zemine çıkar.
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

2x²-4x-6=2(x+1)(x-3), kökler -1 ve 3; zeytin x=-20'de olduğundan 20-1=19 m.

  1. Selvi ağacı y ekseninde (x=0); ağaçlar arası 20 m olduğundan zeytin ağacı x=-20'dedir.
  2. Borunun zemine girip çıktığı yerler f(x)=2x²-4x-6=0 kökleridir.
  3. 2(x²-2x-3)=2(x+1)(x-3)=0, kökler x=-1 ve x=3.
  4. Kazı x=-1'de başlar: zeytin ağacından uzaklık -1-(-20)=19 m.
  5. Boru x=3'te zemine çıkar: selvi ağacından 3 m sonra.
Sık yapılan hatalar
  • Kazının başladığı yeri 1 m sanmak — -1 selviye uzaklıktır; zeytin ağacından ölçünce 20-1=19 m olur.
  • Zeytin ağacını x=20'ye koymak — zeytin ağacı selvinin solunda, yani negatif tarafta x=-20'dedir.

Kendini kontrol et: 19 m ile 1 m toplamı ağaçlar arası 20 m'yi veriyor mu, f(-1) ve f(3) sıfır mı?

7Çözümü farklı yöntemlerle doğrulama

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Çarpanlara ayırma: 2(x-3)(x+1)=0 ile x=3, x=-1; ayrıca diskriminant ile (Δ=64, x=(4±8)/4) aynı kökler bulunur.
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Üç yöntem (tamkare, çarpanlara ayırma, diskriminant) aynı kökleri verir; grafik de bunu doğrular.

  1. Birinci yöntem, çarpanlara ayırma: 2x²-4x-6=2(x²-2x-3)=2(x-3)(x+1)=0, kökler x=3 ve x=-1.
  2. İkinci yöntem, diskriminant: a=2, b=-4, c=-6 için Δ=16+48=64.
  3. Kökler: x=(4±8)/4, yani x=3 ve x=-1.
  4. İki yöntem aynı kökleri verdiğinden 19 m ve 3 m sonuçları doğrulanır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Tamkareye tamamlama: 2[(x-1)²-4]=0, (x-1)²=4, x=3 veya x=-1. (Aynı kökleri farklı bir cebirsel yolla gösterdiği için geçerlidir.) · Matematik yazılımında f'nin grafiğini çizip x eksenini (-1,0) ve (3,0)'da kestiğini göstermek. (Grafikteki kesişim noktaları cebirsel köklerle aynıysa geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Δ'yı b²-4ac yerine b²+4ac ya da işaret hatasıyla hesaplamak — c=-6 olduğundan -4ac=+48 olur.
  • Kök formülünde paydayı a yazmak — payda 2a=4'tür.

Kendini kontrol et: Bulduğun kökleri f(x)=2x²-4x-6'da yerine koyunca 0 elde ediyor musun?

8Olası tüm çözüm stratejileri hakkındaki fikirleri sınıf arkadaşlarıyla paylaşma

Bu madde dinleme, deney veya kişisel yorum etkinliğidir. Tek bir doğru cevabı yoktur; cevabı kitaptaki yönergeye göre kendiniz oluşturursunuz.

9Kullanılan yöntemlerin başka problemlerde nasıl kullanılacağına dair çıkarım yazma

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Bu yöntemler, en büyük/en küçük değer (tepe noktası) ve değer aralığı soran maksimum kâr, alan veya yol problemlerinde kullanılabilir.
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Parabolün tepe ve kökleri, ikinci dereceden modellenen durumlarda uç değer ve işaret aralığını bulmada işe yarar.

  1. Problemde kullanılan araçları listele: köklerin bulunması, tepe noktası ve işaret incelemesi.
  2. Bu araçların ikinci dereceden modellenen her durumda işe yaradığını fark et.
  3. Tepe noktası en büyük/en küçük değer soran problemlerde (kâr, alan, yükseklik) kullanılır.
  4. Kökler ve işaret incelemesi, bir niceliğin pozitif ya da negatif olduğu aralığı bulmakta kullanılır.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Fırlatılan bir cismin yerden yüksekliği gibi yol problemlerinde, köklerle cismin yere düştüğü anı bulmak. (Durum ikinci dereceden bir fonksiyonla modellenebiliyorsa geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Çıkarımı yalnız bu boru problemine özgü yazmak — soru, yöntemin başka problemlere nasıl aktarılacağını istiyor.

Kendini kontrol et: Yazdığın çıkarımı ikinci dereceden modellenen başka bir problemde (ör. atılan topun yüksekliği) uygulayabiliyor musun?

10Çıkarımların geçerliliğini sözel, cebirsel veya grafiksel değerlendirme

Örnek Cevap (Ücretsiz)
Çıkarım, örnek problemin modeli yazılıp tepe ve kökler bulunarak cebirsel ya da grafikle kontrol edilir; sonuçlar uyuşuyorsa geçerlidir.
Çözüm Yolu ve ek çalışmalar

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Başka bir ikinci derece problemine yöntem uygulanıp sonuç grafikle karşılaştırılır.

  1. Çıkarımı denemek için ikinci dereceden modellenen yeni bir örnek problem seç.
  2. Problemin fonksiyonunu yaz; kökleri ve tepe noktasını cebirsel olarak bul.
  3. Aynı fonksiyonun grafiğini çiz ya da yazılımla çizdir.
  4. Cebirsel sonuçlar grafikteki kesişim ve tepe noktasıyla uyuşuyorsa çıkarım geçerlidir.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Sözel değerlendirme: yöntemin a≠0 olan her ikinci dereceden fonksiyon için geçerli olduğunu gerekçesiyle açıklamak. (Gerekçe, kök ve tepe noktası formüllerinin genel olduğuna dayanıyorsa geçerlidir.)

Sık yapılan hatalar
  • Geçerliliği yalnız 'doğru olduğunu düşünüyorum' diye sözel savunmak — en az bir cebirsel veya grafik kanıt gerekir.

Kendini kontrol et: Seçtiğin örnekte cebirle bulduğun kökler ve tepe noktası grafikte de aynı yerde mi?

22. Örnek aToplam ücretin katılan kişi sayısına göre fonksiyonunun cebirsel temsili ve grafiği

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
n ≥ 60 için f(n)=n[1200-10(n-60)]=-10n²+1800n
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

Kişi başı ücret 1200-10(n-60) TL olur; toplam bunun n ile çarpımıdır. Grafik, kolları aşağı bakan, tepesi (90, 81000) olan parabolün n≥60 kısmıdır.

  1. Verilen: en az 60 kişi, kişi başı 1200 TL; 60'ın üzerindeki her kişi için herkese 10 TL indirim. n: katılan kişi sayısı.
  2. 60'ın üzerindeki kişi sayısı n-60 olduğundan kişi başı ücret 1200-10(n-60)=1800-10n TL olur.
  3. Toplam ücret kişi başı ücret ile kişi sayısının çarpımıdır: f(n)=n(1800-10n).
  4. Düzenlersek f(n)=-10n²+1800n, n≥60.
  5. Grafik: a=-10<0, kolları aşağı bakan parabol; tepe (90, 81 000), n≥60 kısmı çizilir.
Sık yapılan hatalar
  • İndirimi yalnız fazladan gelen kişilere uygulamak — geri ödeme tüm katılımcılara yapılır, kişi başı ücret herkes için düşer.
  • -10(n-60) ifadesini -10n-600 diye açmak — işaret dağılımıyla -10n+600 olur.

Kendini kontrol et: n=60 için f(60)=60·1200=72 000 TL çıkıyor mu?

22. Örnek bToplam ücretin en fazla olması için gereken katılımcı sayısı ve fonksiyonun nitel özelliği

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
90 öğrenci; fonksiyonun maksimum noktasıdır (tepe noktası)
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

f(n)=-10n²+1800n için tepe apsisi -1800/(2·(-10))=90; kolları aşağı bakan parabolün maksimum değeri tepe noktasındadır.

  1. Fonksiyon: f(n)=-10n²+1800n; a=-10, b=1800.
  2. a<0 olduğundan parabolün kolları aşağı bakar ve en büyük değer tepe noktasındadır.
  3. Tepe apsisi: n=-b/(2a)=-1800/(2·(-10))=90.
Sık yapılan hatalar
  • Tepe noktasını minimum sanmak — a<0 olduğu için tepe noktası maksimumdur.
  • -b/(2a) hesabında işareti kaçırıp -90 bulmak — kişi sayısı negatif olamaz, işaretleri kontrol et.

Kendini kontrol et: Sıfırlar 0 ve 180 ise tepe apsisi bunların ortası olan 90 mı?

22. Örnek cToplam ücretin alabileceği en büyük değer

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
81 000 TL
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

f(90)=90·(1800-900)=90·900=81 000 TL.

  1. Toplam ücret fonksiyonu: f(n)=n(1800-10n)=-10n²+1800n (n≥60).
  2. En büyük değer tepe noktasında, n=-1800/(2·(-10))=90 iken alınır.
  3. f(90)=90·(1800-10·90)=90·900=81 000.
Sık yapılan hatalar
  • En büyük değer olarak 90 yazmak — 90 kişi sayısıdır; istenen toplam ücret f(90)'dır.

Kendini kontrol et: Kişi başı ücret 1800-900=900 TL ve 90 kişi ile 90·900=81 000 TL mi?

22. Örnek ç80 000 TL ödeme için kâr veya zarar etmemek adına en fazla öğrenci sayısı

Önerilen Cevap (Ücretsiz)
100 öğrenci
Çözüm Yolu

Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.

Çözüm Yolu

-10n²+1800n≥80000 → n²-180n+8000≤0 → (n-80)(n-100)≤0 → 80≤n≤100; en fazla 100 kişi (f(100)=80 000).

  1. Kâr veya zarar olmaması için toplanan ücret en az 80 000 TL olmalı: -10n²+1800n≥80 000.
  2. Her tarafı -10'a bölüp yön değiştirelim: n²-180n+8000≤0.
  3. Çarpanlara ayıralım: (n-80)(n-100)≤0, buradan 80≤n≤100.
  4. En fazla öğrenci sayısı aralığın üst ucudur: n=100; kontrol f(100)=100·800=80 000 TL.
Sık yapılan hatalar
  • Cevap olarak 80 yazmak — soru en fazla kişi sayısını istiyor; aralığın üst ucu 100'dür.
  • -10'a bölünce eşitsizlik yönünü değiştirmemek — negatif sayıya bölmede yön ters döner.

Kendini kontrol et: n=101 için toplam ücret 80 000 TL'nin altına düşüyor mu?