Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 309
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 309 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
8a10 joule iş yapılan deneyde güç fonksiyonunun t'ye bağlı grafiğini çizme
Çözüm Yolu
W=10 olduğundan P=f(t)=10/t olur. Süre pozitif olduğu için yalnız birinci bölgedeki kol çizilir: (1,10), (2,5), (5,2), (10,1) noktalarından geçer.
- Verilen: W=10 joule, P=W/t. İstenen: güç fonksiyonu f(t) ve grafiği.
- W yerine 10 yazılınca f(t)=10/t bulunur.
- Süre negatif ya da sıfır olamayacağından yalnız t>0 alınır; grafik birinci bölgededir.
- Birkaç değer hesaplanır: f(1)=10, f(2)=5, f(5)=2, f(10)=1.
- Bu noktalardan geçen, t büyüdükçe azalan ve eksenlere yaklaşan hiperbol kolu çizilir.
- Üçüncü bölgedeki kolu da çizmek — süre negatif olamaz, yalnız t > 0 kısmı anlamlıdır.
- Grafiği eksenlere değdirmek — 10/t hiçbir zaman 0 olmaz ve t = 0'da tanımsızdır.
Kendini kontrol et: Grafikte t ile f(t) değerlerinin çarpımı her noktada 10 ediyor mu?
8bt'nin [5,50] aralığında fonksiyonun en büyük, en küçük değeri ve görüntü kümesi
Çözüm Yolu
f(t)=10/t azalan olduğundan en büyük değer t=5'te 2, en küçük değer t=50'de 0,2 olur. Fonksiyon sürekli olduğu için görüntü [0,2; 2] aralığıdır.
- W = 10 joule olduğundan f(t) = 10/t; t ∈ [5, 50].
- t arttıkça 10/t azalır, yani fonksiyon bu aralıkta azalandır.
- En büyük değer t = 5'te: 10/5 = 2.
- En küçük değer t = 50'de: 10/50 = 0,2.
- Fonksiyon aralıkta kesintisiz ve azalan olduğundan görüntü kümesi [0,2 ; 2] olur.
- En büyük değeri t = 50'de aramak — fonksiyon azalan olduğundan büyük t küçük değer verir.
- Görüntü kümesini [5, 50] yazmak — o tanım aralığıdır, görüntü f değerlerinden oluşur.
Kendini kontrol et: Aralıktan rastgele t = 10 seç; f(10) = 1 değeri [0,2 ; 2] içinde mi?
9aA ve B maddelerinin yoğunluğunu hacme bağlı cebirsel yazma
Çözüm Yolu
A'nın kütlesi 1 kg, hacmi V ise d=1/V. B'nin kütlesi 2 kg, hacmi V+1 olduğundan d=2/(V+1).
- Yoğunluk d = m/V; A'nın kütlesi 1 kg, hacmi V litre.
- A için: d_A(V) = 1/V.
- B'nin kütlesi 2 kg, hacmi A'dan 1 litre fazla: V + 1.
- B için: d_B(V) = 2/(V + 1) (V > 0).
- B'nin hacmini V − 1 almak — B'nin hacmi A'dan 1 litre fazladır, yani V + 1.
- B için 2/V + 1 yazmak — paydaya parantez konmalı: 2/(V + 1).
Kendini kontrol et: V = 1 için A'nın yoğunluğu 1, B'nin hacmi 2 litre ve yoğunluğu 1 çıkıyor mu?
9bA'nın grafiğine hangi dönüşümlerle B'nin grafiğinin elde edildiği
Çözüm Yolu
d_A(V+1)=1/(V+1) elde etmek için sola 1 birim öteleme yapılır. Sonra 2 ile çarpmak grafiği y ekseni yönünde 2 kat uzatır: 2/(V+1).
- A'nın yoğunluk fonksiyonu d_A(V) = 1/V, B'ninki d_B(V) = 2/(V + 1).
- V yerine V + 1 yazmak 1/(V + 1) verir; bu, grafiği 1 birim sola ötelemektir.
- Sonra fonksiyonu 2 ile çarpmak grafiği y ekseni yönünde 2 kat uzatır: 2/(V + 1).
Kabul edilebilir başka cevaplar: Önce y yönünde 2 kat uzatma (2/V), sonra 1 birim sola öteleme (Öteleme x'e, uzatma y'ye uygulandığı için sıra değişse de aynı 2/(V + 1) grafiği elde edilir.)
- V + 1 dönüşümünü sağa öteleme sanmak — f(x + k) grafiği k birim sola kayar.
- 2 ile çarpmayı x yönünde genişleme sanmak — fonksiyonun dışındaki çarpan y değerlerini etkiler.
Kendini kontrol et: A'nın (1, 1) noktası önce (0, 1), sonra (0, 2) oluyor mu; d_B(0) = 2 mi?
9cA ve B yoğunluk grafiklerini dönüşüm kurallarıyla çizme
Çözüm Yolu
A grafiği V>0 için eksenlere asimptot hiperbol kolu çizilir. B için bu grafik 1 sola ötelenir, y değerleri 2 ile çarpılır; dikey asimptot V=-1, yatay asimptot d=0 olur.
- A için m=1 kg olduğundan yoğunluk fonksiyonu d=1/V olur; B'nin kütlesi 2 kg, hacmi V+1 litredir.
- B için d=2/(V+1) yazılır; bu, 1/V grafiğinin 1 birim sola ötelenip y değerlerinin 2 ile çarpılmasıdır.
- A grafiği: V>0 için eksenlere yaklaşan hiperbol kolu; (1, 1) ve (2; 0,5) noktalarından geçer.
- B grafiği: dikey asimptot V=-1, yatay asimptot d=0 olur; (1, 1) ve (3; 0,5) noktalarından geçer.
- Kontrol: V=1 için B'de 2/(1+1)=1, V=3 için 2/4=0,5 bulunur; noktalar doğrudur.
- B'nin dikey asimptotunu V = 1 almak — sola öteleme asimptotu V = −1'e taşır.
- Yatay asimptotu 2 sanmak — 2 ile çarpma, d = 0 asimptotunu değiştirmez.
Kendini kontrol et: V = 1'de iki grafik kesişiyor mu; ikisinde de yoğunluk 1 çıkmalı.
10Kutunun yan yüz alanı en büyük olması için kesilen karenin kenarı
Çözüm Yolu
Kesilen kenar x ise yan yüz alanı 2x[(40-2x)+(60-2x)]=200x-8x². Parabolün tepe noktası x=200/16=12,5 cm'dir.
- Kesilen karenin kenarı x olsun; kutunun tabanı (40 − 2x) ve (60 − 2x), yüksekliği x olur.
- Yan yüz alanı: 2·x(40 − 2x) + 2·x(60 − 2x) = 2x(100 − 4x) = 200x − 8x².
- Kolları aşağı bakan parabolün tepe noktası: x = −200 / (2·(−8)) = 12,5.
- x = 12,5, 0 < x < 20 koşulunu sağlar; cevap B) 12,5 cm.
- Yan yüz yerine kutunun hacmini en büyük yapmaya çalışmak — soru yalnız yan yüzlerin alanını istiyor.
- Taban kenarlarını 40 − x ve 60 − x almak — her kenarın iki ucundan kare kesildiği için 2x düşülür.
Kendini kontrol et: x = 10 ve x = 15 için alan 1200 ve 1200 çıkıyor mu; tepe bunların ortasında, 12,5'te mi?