Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 328
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 328 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
Değerlendirme (seçim sırası etkisi)Malzeme seçme sırasının pizzaya etkisini tablo ve çizge bulgularına göre değerlendirme
Çözüm Yolu
Tablo ve çizgede 24 sıralı durum çıkar, ancak sıra değişince aynı üç malzeme elde edilir. Pizza yalnız malzeme kümesine bağlıdır.
- Tablodaki ve çizgedeki sıralı üçlülere bak; örneğin MZB ve ZBM satırlarını bul.
- Bu iki satırda kullanılan malzemeleri karşılaştır: ikisinde de mantar, zeytin ve biber vardır.
- Pizzanın içeriğini yalnız hangi malzemelerin olduğu belirler; hangisinin önce tıklandığı pizzayı değiştirmez.
- MZB ile ZBM'yi farklı pizza saymak — malzemeler aynı olduğu için pizza da aynıdır, yalnız yazılış sırası değişmiştir.
Kendini kontrol et: Aynı üç malzemeyi farklı sırayla seçen iki kişinin pizzaları arasında bir fark olur mu?
Eşleşme hesabıEşleşmelere göre iki yöntemde kaç farklı pizza seçeneği olduğunu hesaplama
Çözüm Yolu
24 sıralı durum, her pizza için 3! = 6 kez sayıldığından 24/6 = 4 farklı pizza bulunur.
- 4 malzemeden (M, S, B, Z) sırayla 3 tanesi seçilirse 4 · 3 · 2 = 24 sıralı eşleşme oluşur.
- Pizzanın içeriği için seçilme sırası önemli değildir; örneğin MBS ve BMS aynı pizzadır.
- Aynı 3 malzeme kendi arasında 3! = 6 farklı sırayla yazılır, yani her pizza 6 kez sayılmıştır.
- Farklı pizza sayısı: 24 / 6 = 4. Tablo ve çizgede de aynı sonuç çıkar.
- Cevabı 24 vermek — 24 sıralı eşleşme sayısıdır; aynı malzemeli pizzalar birden çok kez sayılmıştır.
- Tekrarları ayıklarken bir üçlüyü atlamak — her üçlü, dışarıda kalan tek malzemeyle belirlenir; dört üçlü olmalıdır.
Kendini kontrol et: Her pizzada bir malzeme dışarıda kalır; dışarıda kalabilecek malzeme sayısı da 4 değil mi?
dÜçlü sıralanış sayısı ve kendi içindeki sıralanış sayısıyla seçim sayısı için çözüm stratejisi oluşturma
Çözüm Yolu
Önce 4 nesneden 3 tanesinin sıralı dizilişi bulunur (24). Seçilen 3 nesne kendi aralarında 3! sıralanır ve bunlar aynı seçimdir; bu yüzden 3!'e bölünür.
- Önce 4 malzemeden 3'ünün sıralı dizilişlerini say: 4 · 3 · 2 = 24.
- Seçilen 3 malzemenin kendi arasındaki sıralanış sayısını bul: 3! = 3 · 2 · 1 = 6.
- Bu 6 sıralanışın hepsi aynı pizzayı verdiği için sıralı sayıyı 6'ya böl.
- Strateji: Seçim sayısı = (4·3·2) / 3! = 4!/(3!·1!) = 24/6 = 4.
- Sıralı sayıyı 3 ile bölmek — 3 malzeme kendi arasında 3 değil 3! = 6 farklı şekilde sıralanır.
- 4! = 24'ü doğrudan sıralanış sanıp 4!'e bölmek — bölünecek sayı seçilen 3 nesnenin sıralanışı, yani 3!'dir.
Kendini kontrol et: 24'ü 6'ya böldüğünde elde ettiğin sayı, tabloda bulduğun farklı malzeme üçlüsü sayısına eşit mi?
eStratejiyle seçim sayısını bulma ve tablo/çizge sonucuyla karşılaştırma
Çözüm Yolu
24/3! = 4. Listelemede de dört farklı malzeme üçlüsü (MZB, MSZ, MSB, ZSB) bulunmuştu; sonuçlar uyuşur.
- Strateji: Üçlü sıralanış sayısını, seçilen 3 malzemenin kendi arasındaki sıralanış sayısına böl.
- Üçlü sıralanış sayısı 4 · 3 · 2 = 24; 3 malzemenin kendi arasındaki sıralanışı 3! = 6.
- Seçim sayısı: 24 / 6 = 4.
- Tablo ve çizgede bulunan farklı üçlüler MZB, MSZ, MSB, ZSB'dir; yani 4 tane.
- İki yöntemin sonucunu farklı bulmak — tabloda tekrar eden üçlüler elenmediyse sayı büyük çıkar; aynı malzemeli satırları birleştir.
Kendini kontrol et: Strateji ile bulduğun 4 ve tablodaki farklı üçlü sayısı birbirine eşit mi?
fSeçim sayısı ile sıralanış sayısı arasındaki ilişkiye dair çıkarım yapma
Çözüm Yolu
n nesneden r'li sıralama sayısı P(n,r) iken her seçim r! kez sıralanır; bu yüzden seçim sayısı P(n,r)/r! olur.
- Pizza probleminde sıralanış sayısı 24, seçim sayısı 4 bulundu; aralarındaki oran 24/4 = 6'dır.
- Bu 6, seçilen 3 nesnenin kendi arasındaki sıralanış sayısıdır: 3! = 6.
- Genelleştir: n nesneden r tanesinin sıralanış sayısı P(n,r) ise her seçim r! kez sayılmıştır.
- Çıkarım: Seçim sayısı = sıralanış sayısı / r!.
- Bölünecek sayıyı n! sanmak — fazla sayım yalnız seçilen r nesnenin kendi içindeki sıralanışından gelir, bu yüzden r!'e bölünür.
Kendini kontrol et: Bu kuralı 4 nesneden 2'sinin seçimine uygula: 12/2! = 6 sonucu ikili listelemeyle uyuşuyor mu?
gÇıkarımların kullanışlılığını değerlendirme
Çözüm Yolu
Listeleme ve çizge nesne sayısı arttıkça uzun sürer ve hata artar. Sıralama sayısını r!'e bölme yöntemi kısa ve genel bir çözümdür.
- Listeleme ve çizge yöntemlerinde 24 durumu tek tek yazmak gerektiğini hatırla.
- Nesne sayısı arttıkça yazılacak durum sayısının çok büyüdüğünü ve hata riskinin arttığını düşün.
- Bölme stratejisinde yalnız iki çarpım ve bir bölme yapıldığını fark et.
- Değerlendir: Bölme stratejisi listelemeden hızlıdır ve büyük sayılarda da uygulanabilir.
- Listelemenin hiç yararı olmadığını söylemek — küçük sayılarda listeleme, stratejinin doğruluğunu kontrol etmek için yararlıdır.
Kendini kontrol et: 10 malzemeden 3'ünü seçme durumunu listelemek mi, bölme stratejisini kullanmak mı daha kısa sürer?
2a (Problem 2)Masa tenisi takımı problemindeki sayılacak nesneleri belirleme
Çözüm Yolu
Sayılacak nesneler takıma seçilebilecek dört öğrencidir.
- Problem metninde takıma kimlerin seçilebileceğini bul.
- Metinde adı geçen öğrencileri yaz: Ayşe, Banu, Ceyda ve Derya.
- Sayılacak nesneler bu 4 öğrencidir; oluşacak takımlar bu nesnelerden seçilir.
- Sayılacak nesne olarak takımları yazmak — takımlar sonuçtur; seçimin yapıldığı nesneler öğrencilerdir.
Kendini kontrol et: Öğretmen takımı oluştururken kimler arasından seçim yapıyor?
2b (Problem 2)Sayılacak nesneler arasındaki ilişkileri belirleme
Çözüm Yolu
Bir çift oluşturulurken kimin önce seçildiği önemsizdir; Ayşe-Banu ile Banu-Ayşe aynı takımdır.
- Kaç nesne olduğunu ve kaç tanesinin seçileceğini belirle: 4 öğrenciden 2'si.
- Öğrencilerin birbirinden farklı olduğunu ve bir öğrencinin iki kez seçilemeyeceğini not et.
- Sıranın önemli olup olmadığını sor: Ayşe-Banu ile Banu-Ayşe aynı takımdır, yani sıra önemsizdir.
- Sıranın önemli olduğunu düşünmek — takımda birinci ya da ikinci üye ayrımı yoktur, iki kişi aynıysa takım aynıdır.
Kendini kontrol et: Ayşe-Banu ve Banu-Ayşe takımları sahaya çıktığında aralarında bir fark olur mu?
2c (Problem 2)Tabloda tüm ikili seçimleri listeleme
Çözüm Yolu
Sıralı seçim 4·3 = 12'dir; her takım 2! = 2 kez sayıldığı için 12/2 = 6 farklı takım oluşur.
- Öğrenciler: Ayşe (A), Banu (B), Ceyda (C), Derya (D); iki kişilik takım isteniyor, tabloda örnek Ayşe-Banu.
- 1. seçim 4, 2. seçim 3 şekilde yapılır: 4 · 3 = 12 sütun doldurulur.
- Sıralı ikililer: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC.
- Takımda sıra önemsiz; AB ile BA aynı takımdır, her takım 2 kez yazılmıştır.
- Farklı takım sayısı 12 ÷ 2 = 6: Ayşe-Banu, Ayşe-Ceyda, Ayşe-Derya, Banu-Ceyda, Banu-Derya, Ceyda-Derya.
- AA gibi aynı öğrenciyi iki kez yazmak — bir öğrenci takımda iki kez yer alamaz, ikinci seçimde 3 seçenek kalır.
- Tabloyu yalnız 6 sütunla doldurmak — tablo tüm sıralı durumları ister; 12 sütun dolmalıdır.
Kendini kontrol et: Tabloda her öğrenci birinci seçimde tam 3 kez yer alıyor mu?