Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 331
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 331 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
dMavi bilyelerin 3 bölmeye konma sayısı ve kendi sıralanışlarıyla çözüm stratejisi; yalnız mavilerden tüm görsel sayısına ulaşma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Seçimde mavilerin sırası önemsizdir, o yüzden sıralanış sayısı 3!'e bölünür. Kalan iki yer kırmızıya ait olur, ayrıca sayım gerekmez.
- Mavi bilyeleri farklıymış gibi düşün: ilk maviye 5, ikinciye 4, üçüncüye 3 bölme kalır: 5·4·3=60.
- Özdeş 3 mavi kendi arasında 3≠3·2·1=6 farklı sırayla konabilir ama görüntü değişmez.
- Bu yüzden sıralı yerleşim sayısını 6'ya böl: 60/6=10 farklı mavi yerleşimi.
- Maviler yerleşince kalan 2 bölme kırmızılarındır; bu yüzden 10 sayısı tüm görsellerin sayısıdır.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Önce kırmızıların 2 bölmesini belirleyip 5·4/2≠10 bulmak (Kırmızıların yeri belirlenince mavilerin yeri de belli olduğundan aynı strateji geçerlidir.)
- 60'ı sonuç sanmak — özdeş maviler yer değiştirince yeni görsel oluşmaz, 3!'e bölmek gerekir.
- Kırmızılar için ayrıca sayım yapıp sonucu çarpmak — maviler yerleşince kırmızıların yeri zaten belli olur.
Kendini kontrol et: Mavilerin girmediği iki bölmeyi seçerek de 10 farklı durum çıkıyor mu?
eStrateji ile görsel sayısını bulma; kırmızıların yerleştirilmesiyle tekrar çözüp karşılaştırma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Kırmızıların yerleri belirlenince mavilerin yerleri de belli olur. Her iki yoldan ve tablodan 10 bulunur.
- Verilenler: 5 bölmeli stant, özdeş 3 mavi ve özdeş 2 kırmızı bilye; istenen: farklı görsel sayısı.
- Mavileri sıralı yerleştirirsek 5·4·3=60 farklı sıralı yerleşim olur.
- Özdeş 3 mavi kendi arasında 3·2·1=6 şekilde sıralanır; aynı görüntüyü verdiği için 60/6=10 bulunur.
- Kırmızılarla tekrar çözelim: 5·4=20 sıralı yerleşim, 2 kırmızı kendi arasında 2 şekilde sıralanır; 20/2=10.
- Kırmızıların yerleri belli olunca maviler kalan bölmelere gider. Her iki yol ve tablo 10 farklı görsel verir.
- Kırmızılarda 2!'e bölmeyi unutup 20 bulmak — iki kırmızının yer değiştirmesi aynı görseli verir.
- Mavi ve kırmızı sonuçlarını çarpmak (10·10) — bir rengin yeri belirlenince diğerininki de belli olur.
Kendini kontrol et: c) maddesinde tabloya yazdığın farklı görsel sayısı da 10 mu?
fProblemi özdeş nesnelerin sıralanması olarak çözüp önceki sonuçları kontrol etme
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
5 bilyenin tüm sıralanışı 5≠120'dir. Özdeş 3 mavinin 3! ve özdeş 2 kırmızının 2! sıralanışı fazladan sayıldığından bunlara bölünür.
- 5 bilye farklı olsaydı 5≠120 farklı sıralama olurdu.
- 3 mavi özdeş olduğundan kendi aralarındaki 3≠6 sıralama aynı görünür; 2 kırmızı için de 2≠2 sıralama aynıdır.
- Fazla sayılanları atmak için böleriz: 5!/(3!·2!)=120/12=10.
- Paydada çarpmak yerine toplamak (3!+2≠8) — her mavi sıralaması her kırmızı sıralamasıyla birleşir, çarpılır.
- Yalnız 3!'e bölüp 20 bulmak — kırmızılar da özdeş olduğundan 2!'e de bölmek gerekir.
Kendini kontrol et: Bulduğun 10, d) ve e) maddelerindeki sonuçla aynı mı?
gSeçim sayısı ile sıralanma sayıları arasındaki ilişkiye dair çıkarımlar
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Aynı nesneleri içeren sıralamalar aynı seçimi temsil eder. Bu yüzden toplam sıralanış, tekrar eden sıralamaların sayısına bölünür. Sonuç her iki yolda da 10 çıkar.
- Mavilerin sıralı yerleşimini (60) ve seçim sayısını (10) karşılaştır: 60=10·6.
- Buradaki 6, seçilen 3 mavinin kendi arasındaki sıralanış sayısıdır (3!).
- Demek ki aynı nesnelerden oluşan her seçim, sıralamada 3! kez sayılmıştır.
- Çıkarım: seçim sayısı = sıralanış sayısı ÷ seçilenlerin kendi sıralanış sayısı; özdeş nesne sıralamasında da aynı bölme yapılır.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Sıralanış sayısı = seçim sayısı × seçilenlerin kendi sıralanış sayısı (Aynı ilişkiyi çarpım biçiminde ifade ettiği için geçerlidir.)
- Seçim ile sıralamayı aynı sanmak — seçimde sıra önemsizdir, sıralamada önemlidir.
- Bölme yerine çıkarma yapılacağını düşünmek — her seçim eşit sayıda tekrar edildiği için bölünür.
Kendini kontrol et: Seçim sayısını seçilenlerin sıralanış sayısıyla çarpınca toplam sıralanış sayısını (60) elde ediyor musun?
hSayma yönteminde stratejilerin kullanışlılığını değerlendirme
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Liste ve tablo yöntemleri küçük sayılar için anlaşılırdır ama uzar. Bölme stratejisi kısa, genellenebilir ve problem türleri arasında geçişe izin verir.
- Kullandığın yolları listele: tabloyla tek tek yazma, sıralayıp bölme, özdeş nesne sıralaması.
- Tablo yönteminin küçük sayılarda anlaşılır olduğunu ama durum sayısı arttıkça uzadığını belirt.
- Bölme stratejisinin kısa olduğunu ve büyük sayılara genellenebildiğini belirt.
Kabul edilebilir başka cevaplar: Özdeş nesnelerin sıralanması formülünün (n!/(r!·(n−r)!)) en kullanışlı yol olduğunu savunmak (Gerekçesi kısa ve genellenebilir olmasına dayandırılırsa geçerlidir.)
- Yalnız bir yöntemi anlatıp karşılaştırma yapmamak — soru stratejilerin kullanışlılığını değerlendirmeyi istiyor.
Kendini kontrol et: 10 yerine 100 bölmeli bir stant olsaydı tabloyla saymak pratik olur muydu?
2n farklı nesneden r nesnenin seçim sayısı için izlenecek yolu açıklama ve cebirsel yazma
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
n nesneden r tanesinin sıralanış sayısı n·(n-1)·…·(n-r+1)'dir. Aynı r nesneden oluşan sıralamalar aynı seçimdir; her seçim r! kez sayıldığından r!'e bölünür.
- n farklı nesneden r tanesini sıralı dizme sayısını yaz: n·(n−1)·…·(n−r+1).
- Seçilen r nesnenin kendi arasında r! farklı sıralanışı olduğunu belirle.
- Bu r! sıralamanın hepsi aynı seçimi temsil eder; bu yüzden r!'e böl.
- C(n,r)=n·(n−1)·…·(n−r+1)/r! elde edilir; pay ve paydayı (n−r)! ile genişletince n!/(r!·(n−r)!) olur.
- Payı n! almak — yalnız r nesne sıralandığı için çarpım n−r+1'de durur.
- r!'e bölmeyi unutmak — böylece seçim değil sıralama sayısı bulunur.
Kendini kontrol et: Formülde n=5, r=3 yazınca bilye probleminin sonucu olan 10'u buluyor musun?