Ana sayfa›Kitaplar›Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı›Sayfa 34
Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 34 Cevapları
Yapay zekâ destekli · insan onayı yok
Bu sayfadaki cevaplar yapay zekâ ile hazırlandı ve birden çok bağımsız yapay zekâ okumasıyla kontrol edildi; bir insan editör onaylamadı. Hata içerebilir, resmî cevap anahtarı değildir: 11 Kasım 2026'daki bağımsız denetimde, örneklenen cevapların yaklaşık yüzde 7'sinde ciddi hata, yaklaşık yüzde 12'sinde küçük kusur bulundu. Yanlış bir cevap görürsen cevabın altındaki Hata bildir düğmesini kullan. Nasıl hazırlandı?
4Sürgü değerlerini değiştirip yeni üçgenlerde oranları varsayımla karşılaştırma
Bu madde dinleme, deney veya kişisel yorum etkinliğidir. Tek bir doğru cevabı yoktur; cevabı kitaptaki yönergeye göre kendiniz oluşturursunuz.
5Açıortay teoremini benzerlik yardımıyla gösterip önerme olarak yazma; [AD]//[BE] şekli
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
CA ışınını E'ye uzatıp [BE]//[AD] çizilir. Yöndeş ve ters açılardan |AB|=|AE| bulunur. CAD ve CEB üçgenleri benzer olduğundan |BD|/|DC| = |EA|/|AC| = |AB|/|AC|.
- CA doğrusu A'dan uzatılır ve B'den [AD]'ye paralel [BE] çizilir; E bu uzantı üzerindedir.
- Paralellikten m(AEB) = m(CAD) (yöndeş) ve m(ABE) = m(BAD) (iç ters) olur.
- [AD] açıortay olduğundan bu iki açı eşittir; ABE ikizkenar ve |AE| = |AB| bulunur.
- [AD]//[EB] olduğundan CAD ve CEB üçgenleri benzerdir: |BD|/|DC| = |EA|/|AC|.
- Önerme: ABC üçgeninde [AD] iç açıortay ise |BD|/|DC| = |AB|/|AC|'dir.
- E noktasını CA uzantısı yerine [AB] üzerinde almak — paralel doğru CA doğrusunun A'nın ötesindeki uzantısını keser.
- Yöndeş ve iç ters açıları karıştırmak — hangi kesenle hangi paralellerin açı oluşturduğunu şekilde işaretle.
- |AE| = |AB| eşitliğini kullanmadan sonuca atlamak — ispatın anahtarı ABE üçgeninin ikizkenar oluşudur.
Kendini kontrol et: Önermeyi 33. sayfadaki örnekle sına: 4/3 = 8/6 eşitliği sağlanıyor mu?
6 aMerdivenin duvarla yaptığı açıyı iki katına çıkarmak için yere değeceği nokta
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Yeni merdiven A'dan ayrılırken eski merdiven açıortay olur. Duvar dibi O, yeni ayak C olsun: 3/y = 6/|AC|, |AC|=2y ve |AC|²=36+(3+y)² ile y=5, |OC|=8.
- Duvar dibi O olsun: |OA| = 6, |OB| = 3. Merdivenin duvarla yaptığı açı α için tan α = 3/6 = 1/2.
- Açı iki katına çıkınca tan 2α = 2 tan α / (1 - tan²α) hesaplanır.
- tan 2α = (2 · 1/2) / (1 - 1/4) = 1 / (3/4) = 4/3.
- Yeni uzaklık |OC| = |OA| · tan 2α = 6 · 4/3 = 8 birim.
- Merdiven yere duvarın dibinden 8 birim uzaktaki noktada değmelidir.
- Uzaklığı da iki katına çıkarıp 6 birim bulmak — açı iki katına çıkınca tanjant ya da uzaklık iki katına çıkmaz.
- tan α'yı 6/3 = 2 almak — duvarla yapılan açıya göre karşı kenar yerdeki uzaklık (3), komşu kenar yüksekliktir (6).
- Duvara değen ucun yüksekliğini değiştirmek — soruda bu uç sabit kalıyor, yalnız yerdeki uç kayıyor.
Kendini kontrol et: Açıortay önermesiyle sına: yeni durumda 3/5 = 6/10 eşitliği sağlanıyor mu?
6 bMerdivenin yere değen ucunun kaç birim yer değiştirdiği
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Ayak önce duvardan 3 birimdeydi, sonra 8 birime geldi; yer değiştirme 8-3=5 birimdir.
- Merdivenin yerdeki ucu başlangıçta duvardan 3 birim uzaktaydı.
- a şıkkına göre yeni konumda bu uç duvardan 8 birim uzakta olmalıdır.
- Yer değiştirme: 8 - 3 = 5 birimdir.
- Cevap olarak 8 yazmak — 8 yeni uzaklıktır; yer değiştirme eski ve yeni konum arasındaki farktır.
- Uzunlukları toplamak (3 + 8 = 11) — iki konum duvarın aynı tarafındadır, fark alınmalıdır.
Kendini kontrol et: 3 birimdeki noktadan 5 birim daha uzaklaşınca duvardan 8 birim uzağa ulaşıyor musun?
6 cMerdivenin son durumdaki uzunluğu
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Son durumda dik kenarlar 6 ve 8 olduğundan Pisagor ile |AC|=√(36+64)=10 birimdir.
- Son durumda merdivenin duvara değen ucu 6 birim yükseklikte, yerdeki ucu duvardan 8 birim uzaktadır.
- Merdiven dik üçgenin hipotenüsüdür; Pisagor uygulanır.
- Uzunluk² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
- Merdivenin uzunluğu √100 = 10 birimdir.
- Kenarları doğrudan toplamak (6 + 8 = 14) — hipotenüs Pisagor teoremiyle bulunur.
- Yer değiştirme miktarı 5'i dik kenar olarak kullanmak — dik kenar duvar dibine olan uzaklık olan 8'dir.
Kendini kontrol et: 6, 8, 10 sayıları 3, 4, 5 dik üçgen üçlüsünün iki katı mı?
5. ÖrnekCamcının merdiveni binadan kaç metre uzağa koyduğunu bulma (|BC|=4, |BD|=9, açı iki kat)
Çözüm Yolu
Bu ek çözüm içeriği yapay zekâ tarafından hazırlandı ve çoklu okuma ile doğrulandı — insan editör onayı yok.
Şekil 2'de [AC] iç açıortay: |BC|/|CD|=|AB|/|AD| ile |AD|=5x/4. ABD'de Pisagor: (5x/4)²=x²+81 ise x=12.
- |AB| = x olsun; |BC| = 4 m, |BD| = 9 m, m(BAD) = 2 · m(BAC).
- m(BAC) = θ ise tan θ = 4/x ve tan 2θ = 9/x olur.
- İki kat açı formülü: tan 2θ = 2 tan θ / (1 - tan²θ), yani (8/x) / (1 - 16/x²) = 9/x.
- Sadeleştirince 8 = 9(1 - 16/x²), buradan 16/x² = 1/9 ve x² = 144.
- x = 12; merdiven binadan 12 metre uzağa konmuştur.
- |CD| uzunluğunu 9 almak — 9 metre |BD|'dir, açıortay önermesinde |CD| = 9 - 4 = 5 kullanılır.
- Açı iki katına çıktığı için yüksekliğin de iki katı (8) olacağını sanmak — açı ile uzunluk doğru orantılı değildir.
- x² = 144'ten x = ±12 bulup negatif değeri bırakmak — uzaklık pozitif olduğundan yalnız 12 alınır.
Kendini kontrol et: x = 12 için tan θ = 1/3 ise tan 2θ = (2/3)/(8/9) = 3/4 = 9/12 çıkıyor mu?