Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 366 Cevapları

Şekil 1'de K, A'dan B'ye 1/4 yol gider: K=(2,3). Şekil 2'de T, D'nin ötesinde: T=(3,4). Yatay ve dikey farklar bölme oranıyla orantılıdır.

1. Şekil 1 ve Şekil 2'deki uç noktalardan ve bölen noktadan eksenlere paralel doğrular çizerek dik üçgenler oluştur.
2. Aynı doğru üzerindeki bu dik üçgenlerin açıları eş olduğundan Açı-Açı benzerliği kurulduğunu gözlemle.
3. Hipotenüs uzunluklarının oranı 1/3 olduğundan yatay ve dikey dik kenar uzunluklarının da aynı 1/3 oranında bölündüğünü varsay.
4. Örneğin Şekil 1'de apsis farkı 5−1=4 birimi 1:3 oranında bölerek K(2,3), Şekil 2'de benzerlikle T(3,4) noktasını öngör.

Kabul edilebilir başka cevaplar: Doğru parçası boyunca apsis ve ordinat değişimleri doğrusal olduğundan, bölme oranı x ve y koordinat farklarına ayrı ayrı uygulanabilir. (Üçgen benzerliği veya doğrusal artış fikrine dayanan matematiksel olarak tutarlı her varsayım geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Varsayımına göre bulduğun K(2,3) ve T(3,4) koordinatlarının grafikteki noktalarla örtüşüp örtüşmediğini kontrol et.

Her koordinat bileşeni ayrı ayrı aynı oranda bölünür; benzerlikten çıkan oran x ve y için ayrı uygulanır.

1. Uç noktaları A(x1,y1), B(x2,y2) ve bölme oranı |AC|/|BC|=k olan C(x,y) noktası için benzerlikten koordinat farklarını oranla.
2. İçten bölmede C noktası A ile B arasında olduğundan (x−x1)/(x2−x)=k ve (y−y1)/(y2−y)=k eşitliklerini yaz.
3. Eşitlikleri çözerek içten bölme için C((x1+k·x2)/(1+k), (y1+k·y2)/(1+k)) genel bağıntısına ulaş.
4. Dıştan bölmede C uzantıda olduğundan yönlü farklardan (x−x1)/(x−x2)=k yazıp k≠1 için C((x1−k·x2)/(1−k), (y1−k·y2)/(1−k)) genellemesini elde et.

Kabul edilebilir başka cevaplar: İçten bölmede koordinatlar uç noktaların ağırlıklı ortalaması, dıştan bölmede ise farkların oranlanmasıyla A+(k/(k−1))·(B−A) biçiminde bulunur. (Orantı, vektör veya cebirsel bağıntıyla doğru ifade edilen tüm eşdeğer genellemeler geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Genellemede k=1/3 yazarak Şekil 1'deki A(1,2), B(5,6) için K(2,3) sonucunun çıkıp çıkmadığını dene.

Karşılaştırma kişisel olabilir; formül, varsayımı genel ve doğrulanabilir hale getirir.

1. 1. soruda dik üçgen benzerliğinden yola çıkarak kurduğun koordinat farklarının bölme oranıyla orantılı olduğu varsayımını hatırlat.
2. 2. sorudaki cebirsel genellemenin bu geometrik varsayımı her rasyonel k oranı için geçerli genel bir formüle dönüştürdüğünü belirt.
3. Şekil 1'de K((1+(1/3)·5)/(4/3), (2+(1/3)·6)/(4/3))=(2,3) ve Şekil 2'de T(3,4) hesaplayarak formülün ilk tahminlerle uyuştuğunu göster.

Kabul edilebilir başka cevaplar: İlk varsayım grafik üzerinde adım saymaya dayanırken genelleme grafik çizmeden her koordinat ikilisi için doğrudan sonuç verir. (Varsayım ile genelleme arasındaki tutarlılığı veya kapsam farkını açıklayan öğrenci ifadeleri geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Şekil 2'de C(6,1), D(4,3) ve |CT|/|DT|=3 oranını genellemede yerine koyduğunda T(3,4) çıkıyor mu kontrol et.

C=A+t(B−A) alınır, t/(1−t)=k bulunur ve t=k/(1+k) yerine yazılır. Dıştan bölmede oran işaretli düşünülür.

1. Verilenler: A(x1, y1), B(x2, y2) ve |AC|/|BC| = k. İstenen: C noktasının koordinatları.
2. İçten bölmede C, [AB] üzerindedir; A'dan B'ye giden vektörün k/(1+k) kadarı alınır: C = A + (k/(1+k))·(B − A).
3. Düzenlersek içten bölmede C((x1 + k·x2)/(1 + k), (y1 + k·y2)/(1 + k)) bulunur.
4. Dıştan bölmede C, doğru parçasının uzantısındadır; oran işaretli düşünülerek k yerine −k yazılır.
5. Dıştan bölmede C((x1 − k·x2)/(1 − k), (y1 − k·y2)/(1 − k)) olur (k ≠ 1).

Kendini kontrol et: Önermede k=1 yazarak içten bölme formülünün orta nokta koordinatları ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2) verdiğini doğrula.

A'dan çıkan araç yolu 3 saatte, B'den çıkan 2 saatte alır. Aynı sürede alınan yollar hızla orantılı: |AC|/|BC|=2/3. Bu oranla C, AB'yi A'dan 2/5'inde böler.

1. Verilenler: A(-3, 6), B(7, -4); A'dan çıkan araç yolu 3 saatte, B'den çıkan 2 saatte alıyor. İstenen: karşılaşma noktası C.
2. Yol uzunluğu d ise hızlar d/3 ve d/2 olur; hızların oranı (d/3):(d/2) = 2:3.
3. Araçlar aynı sürede hareket ettiğinden aldıkları yollar hızlarıyla orantılıdır: |AC|/|BC| = 2/3.
4. İçten bölme formülü (k = 2/3): x = (-3 + (2/3)·7)/(1 + 2/3) = (5/3)/(5/3) = 1.
5. y = (6 + (2/3)·(-4))/(5/3) = (10/3)/(5/3) = 2. Sonuç: C(1, 2).

Kendini kontrol et: C(1,2) için |AC|=4√2 ve |BC|=6√2 uzunluklarını hesaplayıp |AC|/|BC|=2/3 oranının sağlandığını kontrol et.