Matematik 10.Sınıf Ders Kitabı — Sayfa 85 Cevapları

Dikme indirilince iki dik üçgen oluşur; Pisagor ve trigonometrik oranlar kullanılabilir.

1. Eşitlikte a² ile b² ve c² arasında ilişki olduğuna, bunun da Pisagor teoremini hatırlattığına dikkat et.
2. Pisagor teoremi yalnız dik üçgende geçerli olduğu için ABC üçgeninde dik üçgen oluşturmak gerektiğini fark et.
3. Bir köşeden karşı kenara dikme (yükseklik) indirerek üçgeni iki dik üçgene ayır.
4. cos A eşitlikte geçtiği için A açısının bir dik üçgende yer almasının işe yarayacağını belirt.

Kabul edilebilir başka cevaplar: A köşesinden [BC] kenarına dikme indirilmesi (Hangi köşeden dikme indirilirse indirilsin dik üçgenler oluşur; yalnız ispatta farklı açı ve kenarlar kullanılır.)

Kendini kontrol et: Çizdiğin ek çizgi üçgenin içinde dik açı oluşturuyor mu, böylece Pisagor teoremi uygulanabiliyor mu?

Oluşan ABH ve BHC dik üçgenlerinde Pisagor teoremi ve cos A = komşu/hipotenüs oranı kullanılır.

1. B köşesinden [AC] kenarına BH dikmesini çiz; |BH| = h, |AH| = x olarak adlandır.
2. |HC| = b − x olduğunu yaz.
3. ABH dik üçgeninde Pisagor teoremi: c² = h² + x².
4. BHC dik üçgeninde Pisagor teoremi: a² = h² + (b − x)².
5. ABH dik üçgeninde trigonometrik oranlar: cos A = x / c ve sin A = h / c.

Kabul edilebilir başka cevaplar: tan A = h / x eşitliğinin de eklenmesi (ABH dik üçgeninde karşı dik kenar / komşu dik kenar oranı olarak doğru yazıldığında geçerlidir.) · BHC üçgeninde cos C = (b − x) / a ve sin C = h / a eşitlikleri (C açısının BHC dik üçgeninde kullanıldığı ve kenarlar doğru eşleştirildiğinde geçerlidir.)

Kendini kontrol et: Yazdığın her eşitliğin bir dik üçgende hipotenüsü doğru seçerek kurulduğunu kontrol ettin mi?

Genel üçgende doğrudan Pisagor uygulanamaz; dikme ile ABH ve BHC dik üçgenleri oluşur.

1. ABC üçgeninin dik üçgen olmadığını, bu yüzden Pisagor teoreminin doğrudan uygulanamayacağını belirt.
2. B köşesinden [AC]'ye indirilen dikmenin ABH ve BHC adlı iki dik üçgen oluşturduğunu göster.
3. Bu dik üçgenlerde Pisagor teoreminin ve cos A gibi trigonometrik oranların kullanılabildiğini açıkla.

Kendini kontrol et: Açıklamanda dikmenin hangi iki dik üçgeni oluşturduğunu ve bunların neden gerekli olduğunu belirttin mi?

Hangi köşeden dikme indirilirse o köşedeki açıyla ilgili kosinüs teoremi elde edilir; geniş açıda dikme ayağı kenarın uzantısına düşebilir.

1. Dikmenin A, B veya C köşelerinden herhangi birinden karşı kenara indirilebileceğini belirt.
2. Her durumda iki dik üçgen oluştuğu için ispatın aynı adımlarla yürüdüğünü açıkla.
3. Değişikliğin, sonuçta hangi açının kosinüsünün çıktığı olduğunu söyle; örneğin b² = a² + c² − 2ac·cos B.
4. Geniş açılı üçgende dikme ayağının kenarın uzantısına düşebileceğini not et.

Kendini kontrol et: A köşesinden dikme indirseydin, ispatın sonunda hangi kenarın karesi ve hangi açının kosinüsü çıkardı?

H noktası [AC] üzerindedir ve |AH| = x olduğundan |HC| = |AC| − |AH| = b − x olur.

1. H noktası [AC] üzerinde, |AC| = b ve |AH| = x.
2. [AC] doğru parçası AH ve HC parçalarından oluşur: |HC| = |AC| − |AH|.
3. Değerler yerine yazılır: |HC| = b − x.

Kendini kontrol et: |AH| + |HC| toplamı x + (b − x) = b, yani |AC| ediyor mu?

ABH dik üçgeninde Pisagor teoremi: c² = h² + x² olduğundan h² = c² − x².

1. ABH dik üçgeninde hipotenüs |AB| = c, dik kenarlar |AH| = x ve |BH| = h.
2. Pisagor teoremi: c² = h² + x².
3. h² yalnız bırakılırsa h² = c² − x² olur.

Kendini kontrol et: h² + x² toplamı c²'ye eşit oluyor mu?

BHC dik üçgeninde a² = h² + (b − x)² olduğundan h² = a² − (b − x)².

1. BHC dik üçgeninde hipotenüs |BC| = a, dik kenarlar |BH| = h ve |HC| = b − x.
2. Pisagor teoremi: a² = h² + (b − x)².
3. h² yalnız bırakılırsa h² = a² − (b − x)² olur.

Kendini kontrol et: h² + (b − x)² toplamı a²'ye eşit oluyor mu?